Considere \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=8 x e^{9 y} \cos (10 z). Quanto vale \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y \partial z}(x, y) ?
Escolha uma opção:
◯ a. 72 e^{9 y} \operatorname{sen}(10 z)
◯ b. 720 e^{9 y} \operatorname{sen}(8 z)
◯ c. e^{9 y} \operatorname{sen}(10 z)
◯ d. -720 e^{9 y} \operatorname{sen}(10 z)
◯ e. 720 e^{9 y} \operatorname{sen}(9 z)

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}) = 8 x e^{9 y} \cos(10 z) e pede a derivada parcial de terceira ordem \dfrac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y \partial z}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende de x, y e z: \mathrm{f} = 8 x e^{9 y} \cos(10 z).
  • Quer-se a derivada mista de terceira ordem com as derivadas em ordem \partial x, \partial y, \partial z (ou seja, aplicar as três diferenciações parciais, uma por variável).
  • A função é produto de fatores simples: 8, x, e^{9y} e \cos(10z).

Passo 2

O que é uma derivada parcial e quais regras vou usar (explicação didática).
  • A derivada parcial de f em relação a uma variável, por exemplo z, trata as outras variáveis como constantes e deriva apenas em relação a z. Em notação: a derivada parcial de f em z é \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Regras que usarei:
    1. Derivada de e^{9y} em relação a y: \dfrac{d}{dy} e^{9y} = 9 e^{9y}. Aqui a regra é a derivada da exponencial e^{ay} que dá a e^{ay}.
    2. Derivada de \cos(10z) em relação a z: \dfrac{d}{dz}\cos(10z) = -10 \sin(10z). Aqui se usa a regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes u'; com u=10z temos u'=10.
    3. Derivada de x em relação a x é 1; em relação a y ou z é 0.
    4. Coeficientes multiplicativos (como 8) podem ser puxados para fora da derivada.
  • Observação sobre ordem das derivadas mistas: para funções suficientemente suaves (como esta, que é produto de funções exponencial e trigonométrica), as derivadas parciais mistas comutam (Teorema de Clairaut). Então a ordem das diferenciações não altera o resultado. Vou seguir a ordem z depois y depois x porque fica simples calcular.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a z: \dfrac{\partial f}{\partial z}.
A função é \mathrm{f} = 8 x e^{9y} \cos(10z). As únicas partes que dependem de z são \cos(10z). Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial z} = 8 x e^{9y} \cdot \frac{d}{dz}\bigl(\cos(10z)\bigr) = 8 x e^{9y} \cdot \bigl(-10 \sin(10z)\bigr).
Agora simplificando os fatores constantes:
\frac{\partial f}{\partial z} = -80\, x\, e^{9y} \sin(10z).

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial, agora em relação a y, ou seja \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial z} = -80\, x\, e^{9y} \sin(10z). Aqui x e z são tratados como constantes; a dependência em y está em e^{9y}. Usando \dfrac{d}{dy}e^{9y}=9e^{9y}:
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = -80\, x\, \frac{d}{dy}\bigl(e^{9y}\bigr)\sin(10z) = -80\, x\, \bigl(9 e^{9y}\bigr)\sin(10z).
Multiplicando os números:
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = -720\, x\, e^{9y} \sin(10z).

Passo 5

Calcular a terceira derivada parcial, em relação a x: \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z}\right) = \dfrac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z}.
Partimos de \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} = -720\, x\, e^{9y} \sin(10z). Agora e^{9y} e \sin(10z) são constantes em relação a x. A derivada de x em relação a x é 1. Logo:
\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y \partial z} = -720\, e^{9y} \sin(10z).

Passo 6

Interpretação e comparação com as alternativas.
  • O resultado obtido é \displaystyle -720\, e^{9y} \sin(10z).
  • Isso coincide com a alternativa d.

Resposta

d. -720 e^{9 y} \sin(10 z)

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