Considere
. Quanto vale
?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial de terceira ordem
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende de
, e : . - Quer-se a derivada mista de terceira ordem com as derivadas em ordem
, , (ou seja, aplicar as três diferenciações parciais, uma por variável). - A função é produto de fatores simples:
, , e .
Passo 2
O que é uma derivada parcial e quais regras vou usar (explicação didática).
- A derivada parcial de
em relação a uma variável, por exemplo , trata as outras variáveis como constantes e deriva apenas em relação a . Em notação: a derivada parcial de em é . - Regras que usarei:
- Derivada de
em relação a : . Aqui a regra é a derivada da exponencial que dá . - Derivada de
em relação a : . Aqui se usa a regra da cadeia: derivada de é vezes ; com temos . - Derivada de
em relação a é ; em relação a ou é . - Coeficientes multiplicativos (como
) podem ser puxados para fora da derivada.
- Derivada de
- Observação sobre ordem das derivadas mistas: para funções suficientemente suaves (como esta, que é produto de funções exponencial e trigonométrica), as derivadas parciais mistas comutam (Teorema de Clairaut). Então a ordem das diferenciações não altera o resultado. Vou seguir a ordem
depois depois porque fica simples calcular.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
.
A função é . As únicas partes que dependem de
são
. Usando a regra da cadeia:
A função é
Agora simplificando os fatores constantes:
Passo 4
Calcular a segunda derivada parcial, agora em relação a
, ou seja
.
Partimos de . Aqui
e
são tratados como constantes; a dependência em
está em
. Usando
:
Partimos de
Multiplicando os números:
Passo 5
Calcular a terceira derivada parcial, em relação a
:
.
Partimos de . Agora
e
são constantes em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Logo:
Partimos de
Passo 6
Interpretação e comparação com as alternativas.
- O resultado obtido é
. - Isso coincide com a alternativa d.
Resposta
d.