Qual a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
?
Escolha uma opção:
◯ a. 1
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e. -21
Escolha uma opção:
◯ a. 1
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e. -21
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada direcional é
. - O vetor de direção (não necessariamente unitário) é
.
Passo 2
Definição e ideia chave (explicação didática): a derivada direcional de uma função escalar de várias variáveis em uma direção unitária
mede a taxa de variação de
ao mover-se do ponto na direção
. Para funções diferenciáveis, existe uma maneira prática de calcular isso usando o gradiente
.
O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Cada componente diz a taxa de variação de
quando se muda apenas a respectiva variável (mantendo as outras fixas).
A derivada direcional na direção do vetor unitário
é o produto escalar
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(mostrando passo a passo):
-
: aqui e são tratados como constantes, e a derivada de em relação a é . Então
-
: tratando e como constantes, a única parte que depende de é , cuja derivada em relação a é . Então
-
: similarmente, a derivada de em relação a é . Então
Portanto o gradiente é
Avaliar o gradiente no ponto
(substituir
):
Passo 4
Normalizar o vetor de direção
para obter o vetor unitário
.
Calcular a norma:
Portanto o vetor unitário é
Passo 5
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar
.
Fazer o produto escalar passo a passo:
Simplificar
:
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: o valor
é a taxa de variação de
no ponto dado ao mover-se naquela direção. Você fez certo em seguir passo a passo — essa técnica (gradiente vezes vetor unitário) é padrão e rápida na prova.
Resposta
c.