Qual a derivada direcional de \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=7 x+3 y z no ponto (1,1,1) e na direção do vetor (1,0,1) ?
Escolha uma opção:
◯ a. 1
◯ b. 8 \sqrt{2}
◯ c. 5 \sqrt{2}
◯ d. \frac{23}{\sqrt{2}}
◯ e. -21

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=7x+3yz no ponto (1,1,1) e na direção do vetor (1,0,1).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=7x+3yz.
  • O ponto onde queremos a derivada direcional é (1,1,1).
  • O vetor de direção (não necessariamente unitário) é (1,0,1).

Passo 2

Definição e ideia chave (explicação didática): a derivada direcional de uma função escalar de várias variáveis em uma direção unitária \mathbf{u} mede a taxa de variação de f ao mover-se do ponto na direção \mathbf{u}. Para funções diferenciáveis, existe uma maneira prática de calcular isso usando o gradiente \nabla f.
O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\; \frac{\partial f}{\partial y},\; \frac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente diz a taxa de variação de f quando se muda apenas a respectiva variável (mantendo as outras fixas).
A derivada direcional na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar
D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (mostrando passo a passo):
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}: aqui y e z são tratados como constantes, e a derivada de 7x em relação a x é 7. Então
\frac{\partial f}{\partial x}=7.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}: tratando x e z como constantes, a única parte que depende de y é 3yz, cuja derivada em relação a y é 3z. Então
\frac{\partial f}{\partial y}=3z.
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}: similarmente, a derivada de 3yz em relação a z é 3y. Então
\frac{\partial f}{\partial z}=3y.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y,z) = (7,\; 3z,\; 3y).
Avaliar o gradiente no ponto (1,1,1) (substituir x=1,\;y=1,\;z=1):
\nabla f(1,1,1) = (7,\; 3\cdot 1,\; 3\cdot 1) = (7,3,3).

Passo 4

Normalizar o vetor de direção (1,0,1) para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
Calcular a norma:
\|\,(1,0,1)\,\| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}.
Portanto o vetor unitário é
\mathbf{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;0,\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar \nabla f(1,1,1)\cdot\mathbf{u}.
Fazer o produto escalar passo a passo:
D_{\mathbf{u}} f(1,1,1) = (7,3,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
= 7\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + 3\cdot 0 + 3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{7+3}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}.
Simplificar \dfrac{10}{\sqrt{2}}:
\frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o valor 5\sqrt{2} é a taxa de variação de f no ponto dado ao mover-se naquela direção. Você fez certo em seguir passo a passo — essa técnica (gradiente vezes vetor unitário) é padrão e rápida na prova.

Resposta

c. 5 \sqrt{2}

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