Calcule a integral dupla.
,\n

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de f(x,y)=x-2y sobre a região
D = (x,y)mid 1<= x<=3,;1+x<= y<=2x
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Fubini para transformar essa integral dupla numa iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Montamos a integral iterada integrando primeiro em y e depois em x:
integral duplaD(x-2y),dA = integralx=1^3integraly=1+x^2x(x-2y),dy,dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integraly=1+x^2x(x-2y),dy = l[x,y - y^2r]y=1+x^2x = l(2x^2-4x^2r) - l(x(1+x)-(1+x)^2r) = -2x^2+x+1

Passo 4

Agora integramos em x:
integral1^3(-2x^2+x+1),dx = l[-tfrac2x^33+tfracx^22+xr]1^3 = l(-tfrac2cdot273+tfrac92+3r) - l(-tfrac23+tfrac12+1r) = -tfrac212-tfrac56 = -tfrac343

Resposta

-tfrac343

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