Calcule a integral iterada.
integral0^1 integralx-1^0 2 yx+1 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integralx-1^02yx+1,dy,dx
O conteúdo principal é integração iterada em duas etapas: primeiro integramos em y (mantendo x fixo) e depois integramos o resultado em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
integralx-1^02yx+1,dy =1x+1integralx-1^02y,dy =1x+1l[y^2r]y=x-1^y=0 =1x+1l(0-(x-1)^2r) =-(x-1)^2x+1

Passo 3

Substituindo na integral em x, temos
integral0^1-(x-1)^2x+1,dx =integral0^1-x^2+2x-1x+1,dx

Passo 4

Para facilitar, dividimos o polinômio -x^2+2x-1 por x+1:
-x^2+2x-1x+1 =-x+3-4x+1
Logo a integral vira
integral0^1l(-x+3r)dx -4integral0^11x+1,dx

Passo 5

Calculamos cada parte:
integral0^1(-x+3),dx =l[-tfracx^22+3xr]0^1 =-tfrac12+3=tfrac52,
integral0^11x+1,dx =l[ln(x+1)r]0^1 =ln2-ln1=ln2
Então
integral0^1-x^2+2x-1x+1,dx =tfrac52-4ln2

Resposta

52-4ln2

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