Calcule a integral dupla.
,\n

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral duplaD x sin y ,dA,
onde
D = (x,y)mid 0 <= y <= tfracpi2,;0 <= x <= cos y
O conteúdo é mudança para integral iterada e uso de substituição para resolver a integral em y.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada em x e y:
integral duplaD x sin y,dA = integraly=0^pi/2!!integralx=0^cos y x sin y,dx,dy

Passo 3

Integramos em x primeiro, tratando sin y como constante:
integralx=0^cos y x sin y,dx = sin y integral0^cos y x,dx = sin y ,l[tfracx^22r]0^cos y = tfrac12,cos^2 y,sin y
Logo a integral vira
integral0^pi/2 tfrac12cos^2 y,sin y,dy

Passo 4

Para resolver
integral0^pi/2cos^2 y,sin y,dy
fazemos a substituição u = cos y, de onde du = -sin y,dy. Quando y=0 vem u=1 e quando y=tfracpi2 vem u=0. Assim
integral0^pi/2cos^2 y,sin y,dy = integralu=1^0 u^2(-du) = integral0^1 u^2,du

Passo 5

Calculamos
integral0^1 u^2,du = l[tfracu^33r]0^1 = tfrac13
Não esqueça do fator tfrac12 que estava fora:
tfrac12 cdot tfrac13 = tfrac16

Resposta

tfrac16

Exercícios relacionados