Decida se os vetores a seguir são LI ou LD. (0,2,0);
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto de vetores , , e
em é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
O conteúdo envolvido é teste de independência linear em espaços vetoriais de dimensão finita.
Passo 2
Em a dimensão do espaço é . Qualquer conjunto que tenha mais de vetores em é automaticamente linearmente dependente, pois não há “espaço” para 4 direções independentes. Logo, já podemos concluir que os quatro vetores são LD.
Passo 3
Para ilustrar concretamente a dependência, basta achar uma combinação não trivial que dê o vetor nulo. Aqui mostramos que é combinação de . Procuramos escalares tais que
Escrevendo coordenadas, obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: da segunda equação 2b-c=2 vem c=2b-2. Substituindo em a+2b+3c=0 dá a+2b+3(2b-2)=0Rightarrow a+8b=6Rightarrow a=6-8b.
Na terceira equação a+b+2c=0 substituímos a e c: