Decida se os vetores a seguir são LI ou LD.
u=(1,0,1), v=(2,2,1), w=(3,-1,2), t= (0,2,0);

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de vetores
u=(1,0,1), v=(2,2,1), w=(3,-1,2) e t=(0,2,0)
em R^3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
O conteúdo envolvido é teste de independência linear em espaços vetoriais de dimensão finita.

Passo 2

Em R^3 a dimensão do espaço é 3. Qualquer conjunto que tenha mais de 3 vetores em R^3 é automaticamente linearmente dependente, pois não há “espaço” para 4 direções independentes. Logo, já podemos concluir que os quatro vetores são LD.

Passo 3

Para ilustrar concretamente a dependência, basta achar uma combinação não trivial que dê o vetor nulo. Aqui mostramos que t é combinação de u,v,w. Procuramos escalares a,b,c tais que
a,u+b,v+c,w=t
Escrevendo coordenadas, obtemos o sistema
a+2b+3c=0, 0cdot a+2b-c=2, a+b+2c=0

Passo 4

Resolvendo o sistema: da segunda equação 2b-c=2 vem c=2b-2. Substituindo em
a+2b+3c=0 a+2b+3(2b-2)=0Rightarrow a+8b=6Rightarrow a=6-8b.
Na terceira equação a+b+2c=0 substituímos a e c:
(6-8b)+b+2(2b-2)=0 ;Rightarrow;6-8b+b+4b-4=0 ;Rightarrow;2-3b=0 ;Rightarrow;b=tfrac23
Segue c=2cdottfrac23-2=-tfrac23 e a=6-8cdottfrac23=tfrac23. Portanto
t =tfrac23,u+tfrac23,v-tfrac23,w,
mostrando uma relação linear não trivial.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes (LD).

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