Calcule a integral dupla.
,\n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(y - x,y^2r),dA
no domínio
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;-y<= x<=1+y
O conteúdo necessário é a troca de ordem de integração (Fubini) e a integração termo a termo de polinômios em x e y.

Passo 2

Escrevemos a integral em forma iterada, integrando primeiro em x:
integral duplaD(y - x,y^2),dA =integraly=0^1l[integralx=-y^,1+yl(y - x,y^2r),dxr]dy

Passo 3

Calculemos a integral interna em x. Quebramos em duas partes:
integral-y^1+yy,dx =yl[(1+y)-(-y)r] =y(1+2y),
integral-y^1+yx,y^2,dx =y^2,x^22|-y^1+y =y^22l((1+y)^2-(-y)^2r) =y^22(1+2y)
Então
integral-y^1+y(y - x,y^2),dx =y(1+2y);-;y^22(1+2y) =y + 32y^2 - y^3

Passo 4

Agora integramos em y de 0 a 1:
integral0^1l(y + tfrac32y^2 - y^3r)dy =l[tfracy^22 + tfrac12y^3 - tfracy^44r]0^1 =tfrac12+tfrac12-tfrac14 =tfrac34

Resposta

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