Faça o estudo de continuidade e diferenciabilidade das seguintes funções:
f(x)=|x-3|

Passo 1

O enunciado pede para estudar continuidade e diferenciabilidade da função
f(x) = lvert x - 3rvert,
definida para todo xinR. O conteúdo aqui é análise de funções definidas por valor absoluto, que a gente trata usando a definição “piecewise” e depois verifica limites e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
Isso mostra que em cada parte a função é uma reta — logo é contínua e diferenciável em .

Passo 3

Verificação de continuidade em x=3.
Calculemos os limites laterais:
limxto 3^-f(x)=limxto3^-(3-x)=3-3=0,
limxto 3^+f(x)=limxto3^+(x-3)=3-3=0
Como limxto3^-f(x)=limxto3^+f(x)=0 e f(3)=|3-3|=0, concluímos que f é contínua em x=3. Juntando com xneq3, f é contínua em todo R.

Passo 4

Verificação de diferenciabilidade fora de x=3.
Em x<3, f(x)=3-x é uma reta de coeficiente angular -1, então
f'(x)=-1, x<3
Em x>3, f(x)=x-3 é reta de coeficiente +1, então
f'(x)=1, x>3

Passo 5

Verificação de diferenciabilidade em x=3.
O limite que define a derivada em 3 pelos dois lados é
f'-(3)=limhto0^-f(3+h)-f(3)h =limhto0^-(3-(3+h))-0h =limhto0^--hh=-1,
f'+(3)=limhto0^+f(3+h)-f(3)h =limhto0^+(3+h-3)-0h =limhto0^+hh=1
Como f'-(3)=-1neq1=f'+(3), a derivada em x=3 não existe.

Resposta

A função f(x)=lvert x-3rvert é contínua em todo R e diferenciável em Rsetminus3, mas não diferenciável em x=3.

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