Faça o estudo de continuidade e diferenciabilidade das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para estudar continuidade e diferenciabilidade da função
definida para todo
. O conteúdo aqui é análise de funções definidas por valor absoluto, que a gente trata usando a definição “piecewise” e depois verifica limites e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
Isso mostra que em cada parte a função é uma reta — logo é contínua e diferenciável em .
Passo 3
Verificação de continuidade em
.
Calculemos os limites laterais:
Calculemos os limites laterais:
Como
e
, concluímos que
é contínua em
. Juntando com
,
é contínua em todo
.
Passo 4
Verificação de diferenciabilidade fora de
.
Em ,
é uma reta de coeficiente angular
, então
Em
Em
,
é reta de coeficiente
, então
Passo 5
Verificação de diferenciabilidade em
.
O limite que define a derivada em pelos dois lados é
O limite que define a derivada em
Como
, a derivada em
não existe.
Resposta
A função
é contínua em todo
e diferenciável em
, mas não diferenciável em
.