Calcule a integral dupla
integral duplaR(x-y) d A,
onde R é a região limitada por
x=0, x=1, y=x e y=2-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(x-y),dA,
onde a região R é limitada pelas retas x=0, x=1 e pelas curvas y=x e y=2-x^2.
Matéria: Integral dupla e Teorema de Fubini.
O que precisamos:
  1. Descrever direitinho a região R.
  2. Transformar a integral dupla em iterada ( integral!!integraltointegral!integral).
  3. Integrar primeiro em y, depois em x, sem pular etapas.

Passo 2

Descrição da região e limites de integração:
  • As retas verticais são x=0 e x=1, logo 0<= x<=1.
  • Para cada x entre 0 e 1, y varia de baixo para cima entre a reta y=x e a parábola y=2-x^2.
  • A interseção y=x com y=2-x^2 satisfaz x=2-x^2 Rightarrow x^2+x-2=0, cujas raízes são x=1 e x=-2.
  • Como ficamos só com 0<= x<=1, o ponto relevante é x=1, que dá y=1.
    Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
integral duplaR(x-y),dA =integralx=0^1l[integraly=x^,2-x^2(x-y),dyr]dx

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
integraly=x^2-x^2(x-y),dy =integralx^2-x^2x,dy;-;integralx^2-x^2y,dy
Integramos cada parte:
  1. integral x,dy = x,y.
  2. integral y,dy = tfracy^22.
    Logo, avaliando de y=x até y=2-x^2:
x,(2-x^2)-(2-x^2)^22;-;l[xcdot x-x^22r]

Passo 4

Simplificar essa expressão (ela é agora função só de x):
  1. x(2-x^2)=2x - x^3.
  2. (2-x^2)^2 = 4 -4x^2 + x^4, então tfrac12(2-x^2)^2 = 2 -2x^2 + tfracx^42
  3. xcdot x - tfracx^22 = x^2 - tfracx^22 = tfracx^22
    Subtraindo tudo:
(2x - x^3) - l(2 -2x^2 + tfracx^42r) ;-;tfracx^22 = -tfracx^42 - x^3 + tfrac3x^22 + 2x - 2
Chame isso de f(x).

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1f(x),dx =integral0^1l(-tfracx^42 - x^3 + tfrac3x^22 + 2x - 2r),dx
Fazendo termo a termo:
  • integral0^1 -tfracx^42,dx = -tfrac12cdottfrac15 = -tfrac110
  • integral0^1 -x^3,dx = -tfrac14
  • integral0^1 tfrac3x^22,dx = tfrac32cdottfrac13 = tfrac12
  • integral0^1 2x,dx = 2cdottfrac12 = 1
  • integral0^1 (-2),dx = -2
    Somando tudo:
-tfrac110-tfrac14+tfrac12+1 -2 = -tfrac1720

Resposta

integral duplaR(x-y),dA ;=; -1720

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