Calcule a integral dupla
onde
é a região limitada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é limitada pelas retas
,
e pelas curvas
e
.
Matéria: Integral dupla e Teorema de Fubini.
O que precisamos:
Matéria: Integral dupla e Teorema de Fubini.
O que precisamos:
- Descrever direitinho a região
. - Transformar a integral dupla em iterada (
). - Integrar primeiro em
, depois em , sem pular etapas.
Passo 2
Descrição da região e limites de integração:
- As retas verticais são
e , logo . - Para cada
entre 0 e 1, varia de baixo para cima entre a reta e a parábola . - A interseção
com satisfaz , cujas raízes são e . - Como ficamos só com
, o ponto relevante é , que dá .
Pelo Teorema de Fubini, escrevemos
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Integramos cada parte:
-
. -
.
Logo, avaliando deaté :
Passo 4
Simplificar essa expressão (ela é agora função só de
):
-
. -
, então -
Subtraindo tudo:
Chame isso de
.
Passo 5
Agora integramos em
de 0 a 1:
Fazendo termo a termo:
-
-
-
-
-
Somando tudo: