Calcular as integrais definidas pelos métodos da substituição e integração por partes.
integral0^2 pi x sen(x2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^2pi x sin!l(tfracx2r),dx
aplicando primeiro uma substituição para simplificar o integrando e depois integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x2, x = 2t, dx = 2,dt,
com x=0mapsto t=0 e x=2pimapsto t=pi. Assim
I = integral0^2pi x sin!l(tfracx2r),dx = integral0^pi (2t),sin t,(2,dt) = 4 integral0^pi t,sin t,dt

Passo 3

Para calcular integral0^pi tsin t,dt usamos integração por partes. Tomamos
u = t, dv = sin t,dt ;Longrightarrow; du = dt, v = -cos t
Logo,
integral tsin t,dt = u,v - integral v,du = -,tcos t - integral(-cos t),dt = -,tcos t + integralcos t,dt = -,tcos t + sin t

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a pi:
integral0^pi tsin t,dt = l[-,tcos t + sin tr]0^pi = l[-picospi + sinpir] - l[0cdotcos0 + sin0r] = -pi(-1) = pi
Portanto
I = 4 integral0^pi tsin t,dt = 4pi

Resposta

integral0^2pi x sin!l(tfracx2r),dx = 4pi

Exercícios relacionados