Considere a superfície S obtida pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) >= 0 em[a, b]. A área da superfície S é dada por
2 pi integrala^b f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
Sejam A1 e A2 as áreas das superfície geradas pela rotação, em torno do eixo x, dos gráfico das seguintes funções f(x)=sen x, 0 <= x <= pi e f(x)=e^x, 0 <= x <= ln (2), respectivamente. Verifique que
A1+A2=integral-1^2 raiz1+x^2 d x
(9) Considere a região R(L)=(x, y): 0 <= y <= cosh x,-L <= x <= L. Determine uma relação entre o volume V(L) do sólido obtido pela rotação de R(L) em torno do eixo x e a área A(L) da superfície obtida pela rotação do gráfico da catenária y=cosh x, no intervalo [-L, L], em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula geral da área de uma superfície de revolução em torno do eixo x:
Área ;=;2piintegrala^b f(x),raiz1+[f'(x)]^2,dx, Á
e define
A1=2piintegral0^pisin x,raiz1+(cos x)^2,dx, A2=2piintegral0^ln2e^x,raiz1+e^2x,dx
Queremos mostrar que
A1 + A2 ;=;integral-1^2raiz1+x^2,dx

Passo 2

Calculemos A1 por substituição u=cos x. Então du=-sin x,dx, e quando x=0 temos u=1, quando x=pi temos u=-1. Assim
integral0^pisin x,raiz1+(cos x)^2,dx =integralu=1^u=-1(-1),raiz1+u^2,du =integral-1^1raiz1+u^2,du
Logo
A1 =2piintegral-1^1raiz1+u^2,du

Passo 3

Calculemos A2 por substituição u=e^x. Então du=e^x,dx, e quando x=0 temos u=1, quando x=ln2 temos u=2. Logo
integral0^ln2e^x,raiz1+e^2x,dx =integralu=1^u=2raiz1+u^2,du,
e portanto
A2 =2piintegral1^2raiz1+u^2,du

Passo 4

Somando A1 e A2 obtemos
A1 + A2 =2pil(integral-1^1raiz1+x^2,dx + integral1^2raiz1+x^2,dxr) =2piintegral-1^2raiz1+x^2,dx
Dividindo ambos os lados por 2pi aparece exatamente
A1+A22pi =integral-1^2raiz1+x^2,dx,
o que verifica a igualdade pedida.

Passo 5

Agora, para a região R(L)=(x,y):0<= y<=cosh x,,-L<= x<= L girada em torno do eixo x, o volume é dado por
V(L) =piintegral-L^L(cosh x)^2,dx,
enquanto a área da superfície de revolução do gráfico y=cosh x em [-L,L] é
A(L) =2piintegral-L^Lcosh x,raiz1+(sinh x)^2,dx

Passo 6

Como raiz1+(sinh x)^2=cosh x, temos
A(L) =2piintegral-L^L(cosh x)^2,dx =2;gl[piintegral-L^L(cosh x)^2,dxgr] =2,V(L)
Ou seja, a relação entre volume e área é
A(L)=2,V(L) Long<=ftrightarrow V(L)=tfrac12,A(L)

Resposta

A1+A2=integral-1^2raiz1+x^2,dx
e
A(L)=2,V(L) (ou V(L)=tfrac12,A(L)).

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