Considere a superfície
obtida pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico de uma função
, com derivada contínua e
. A área da superfície
é dada por
Sejam
e
as áreas das superfície geradas pela rotação, em torno do eixo
, dos gráfico das seguintes funções
e
, respectivamente. Verifique que
(9) Considere a região
. Determine uma relação entre o volume
do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
e a área
da superfície obtida pela rotação do gráfico da catenária
, no intervalo
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a fórmula geral da área de uma superfície de revolução em torno do eixo
:
e define
Queremos mostrar que
Passo 2
Calculemos
por substituição
. Então
, e quando
temos
, quando
temos
. Assim
Logo
Passo 3
Calculemos
por substituição
. Então
, e quando
temos
, quando
temos
. Logo
e portanto
Passo 4
Somando
e
obtemos
Dividindo ambos os lados por
aparece exatamente
o que verifica a igualdade pedida.
Passo 5
Agora, para a região
girada em torno do eixo
, o volume é dado por
enquanto a área da superfície de revolução do gráfico
em
é
Passo 6
Como
, temos
Ou seja, a relação entre volume e área é
Resposta
e