Resolva o PVI ly^prime prime+5 y^prime=0 y(0)=1, y^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 5y' = 0,
sujeita às condições
y(0)=1, y'(0)=2
Para resolver, vamos (1) montar a equação característica, (2) obter a solução geral e (3) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Procuramos soluções do tipo y=e^rt. Substituindo na equação diferencial:
r^2e^rt + 5,r e^rt=0 Longrightarrow r^2 + 5r = 0
Resolvendo
r(r+5)=0 Longrightarrow r1=0,;r2=-5
Logo a solução geral é
y(t)=C1e^0cdot t+C2e^-5t=C1 + C2e^-5t

Passo 3

Calculamos a derivada para usar as condições iniciais:
y'(t)=-5C2e^-5t
Em t=0 temos
y(0)=C1+C2=1,
y'(0)=-5C2=2
Da segunda equação vem
C2=-25,
e da primeira
C1=1 - C2 = 1 + 25 = 75

Passo 4

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz o PVI:
y(t)=75 - 25,e^-5t

Resposta

y(t)=75 - 25e^-5t

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