Calcule a integral dupla
onde
é a região do plano Cartesiano delimitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
limitada pelas parábolas
e
O conteúdo aqui é integrais duplas em regiões do tipo “faixa vertical” (tipo I). Vamos precisar:
. Encontrar a interseção das curvas para achar o intervalo de
.
. Escrever a integral iterada como
.
. Calcular a integral interna em
, depois a externa em
.
Passo 2
Primeiro, achamos as interseções resolvendo
Para cada
Passo 3
Montamos a integral iterada:
Passo 4
Calculamos a integral interna em
. Como
temos
Passo 5
Avaliamo-sso em
e em
:
Expandindo:
Juntando termos semelhantes:
Passo 6
Agora a integral externa:
Os termos ímpares (
e
) integram zero em
. Portanto
Passo 7
Calculamos
Multiplicando por
dá