Calcule a integral dupla
integralR integral(x+y) d A
onde R é a região do plano Cartesiano delimitada pelas parábolas y=2 x^2 e y=x^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de (x+y) sobre a região R limitada pelas parábolas
y = 2x^2
e
y = x^2 + 1
O conteúdo aqui é integrais duplas em regiões do tipo “faixa vertical” (tipo I). Vamos precisar:
1. Encontrar a interseção das curvas para achar o intervalo de x.
2. Escrever a integral iterada como integralx=a^b!integraly=ymin(x)^ymax(x) (x+y),dy,dx.
3. Calcular a integral interna em y, depois a externa em x.

Passo 2

Primeiro, achamos as interseções resolvendo
2x^2 ;=; x^2 + 1
Rightarrow x^2 = 1, logo x = -1 ou x = 1.
Para cada xin[-1,1], a parábola de baixo é ymin(x)=2x^2 e a de cima é ymax(x)=x^2+1.

Passo 3

Montamos a integral iterada:
integral duplaR(x+y),dA = integralx=-1^1 l[integraly=2x^2^,x^2+1 (x+y),dyr] dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y. Como
integral (x+y),dy = integral x,dy + integral y,dy = x,y + y^22,
temos
integraly=2x^2^,x^2+1(x+y),dy = l[x,y + tfracy^22r]y=2x^2^,y=x^2+1

Passo 5

Avaliamo-sso em y = x^2 + 1 e em y = 2x^2:
x cdot (x^2 + 1) + (x^2 + 1)^22 ; - ; l[x cdot (2x^2) + (2x^2)^22r]
Expandindo:
x^3 + x + x^4 + 2x^2 + 12 ; - ; l(2x^3 + 4x^42r) = x^3 + x + tfrac12x^4 + x^2 + tfrac12 - 2x^3 - 2x^4
Juntando termos semelhantes:
= -tfrac32x^4 ; - ; x^3 ; + ; x^2 ; + ; x ; + ; tfrac12

Passo 6

Agora a integral externa:
integral-1^1l(-tfrac32x^4 - x^3 + x^2 + x + tfrac12r),dx
Os termos ímpares ( -x^3 e x) integram zero em [-1,1]. Portanto
integral-1^1 l(-tfrac32x^4 + x^2 + tfrac12r),dx =2integral0^1l(-tfrac32x^4 + x^2 + tfrac12r),dx

Passo 7

Calculamos
integral0^1l(-tfrac32x^4 + x^2 + tfrac12r),dx = -tfrac32!cdottfrac15 + tfrac13 + tfrac12 = -tfrac310 + tfrac13 + tfrac12 = tfrac815
Multiplicando por 2
2cdot tfrac815 = tfrac1615

Resposta

integral duplaR(x+y),dA = tfrac1615

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