Calcule a integral dupla ∫∫R xy.dA, sendo que R = (x,y), onde {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 2 }
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular essa integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está delimitada entre
e
no eixo
, e entre
e
no eixo
. Isso forma um retângulo no plano
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser escrita como uma integral iterada. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos escolher integrar em relação a
primeiro:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é a parte com
. Trata-se de integrar
em relação a
, mantendo
como constante:
Aqui,
é tratado como uma constante, então podemos tirar ele da integral.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla
é 3.