Calcule a integral dupla ∫∫R xy.dA, sendo que R = (x,y), onde {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ 2 }

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral dupla integral duplaR xy , dA, onde a região R é definida por 0 <= x <= 2 e 1 <= y <= 2. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. Ela está delimitada entre x = 0 e x = 2 no eixo x, e entre y = 1 e y = 2 no eixo y. Isso forma um retângulo no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Sabemos que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser escrita como uma integral iterada. Podemos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y, ou vice-versa. Vamos escolher integrar em relação a x primeiro:
integral duplaR xy , dA = integraly=1^2 integralx=0^2 xy , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é a parte com x. Trata-se de integrar xy em relação a x, mantendo y como constante:
integral0^2 xy , dx = y integral0^2 x , dx
Aqui, y é tratado como uma constante, então podemos tirar ele da integral.

Passo 5

Agora, vamos calcular integral0^2 x , dx:
integral0^2 x , dx = [ 12x^2 ]0^2 = 12(2)^2 - 12(0)^2 = 12(4) = 2
Então, a integral interna fica:
y times 2 = 2y

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral1^2 2y , dy = 2 integral1^2 y , dy = 2 [ 12y^2 ]1^2 = 2 ( 12(4) - 12(1) ) = 2 ( 2 - 0.5 ) = 2 times 1.5 = 3

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaR xy , dA é 3.

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