Encontre as assintotas horizontais e verticais de cada curva, esboce os graficos:f(x)=2x+1/x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} $. Isso faz parte do estudo de funções racionais na matemática, onde analisamos o comportamento do gráfico da função perto de certos valores de $ x $. Para resolver, precisamos entender como identificar essas assíntotas e desenhar o gráfico com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da fração é igual a zero, porque aí a função não está definida e o gráfico “vai para o infinito”. Então, vamos igualar o denominador a zero:
x - 2 = 0 implies x = 2
Então, temos uma assíntota vertical em $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos procurar a assíntota horizontal. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende dos graus do numerador e do denominador.
  • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.
  • Se os graus forem iguais, a assíntota é a divisão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal.
No nosso caso, tanto o numerador $ 2x + 1 $ quanto o denominador $ x - 2 $ são de grau 1. Então, os graus são iguais. A assíntota horizontal será a divisão dos coeficientes de $ x $:
y = 0
Então, a assíntota horizontal é $ y = 2 $.

Passo 4

Vamos resumir o que encontramos:
  • Assíntota Vertical: $ x = 2 $
  • Assíntota Horizontal: $ y = 2 $
Agora, para esboçar o gráfico, sabemos que a função se aproxima dessas linhas quando $ x $ tende para certos valores.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} $ possui uma assíntota vertical em $ x = 2 $ e uma assíntota horizontal em $ y = 2 $. O gráfico se aproxima dessas assíntotas conforme $ x $ se aproxima de 2 e conforme $ x $ tende ao infinito, respectivamente.

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