Calcule na região limitada por e (representação geometricamente)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla na região delimitada pelas curvas e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e determinação de áreas limitadas por funções. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e aplicar as técnicas de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos duas parábolas: e . A segunda função é basicamente a primeira elevada em 1 unidade no eixo y. Para encontrar as interseções dessas curvas, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso não faz sentido, o que significa que as duas parábolas nunca se encontram. Mas, na verdade, a segunda parábola está sempre 1 unidade acima da primeira. Portanto, a região entre elas é um “anel” infinito verticalmente, o que sugere que há limites implícitos para x. Para este exercício, assumimos que a região está limitada horizontalmente onde queremos calcular a integral.
No entanto, como não há interseção, precisamos determinar de onde a integral vai. Vamos supor que a região é entre e para todos os valores de x. Mas isso resultaria em uma região infinita, o que não é usual em exercícios. Talvez haja um erro no enunciado, mas seguiremos com uma abordagem generalizada.
Passo 3
Para evitar uma região infinita, vamos supor que há limites para x, por exemplo, entre e . Mas como o enunciado não especifica, vamos considerar que a integral deve ser resolvida simbolicamente com os limites em termos de x.
A integral dupla pode ser escrita como:
No entanto, isso não é prático. Vamos revisar o enunciado para garantir que interpretamos corretamente.
Na verdade, o enunciado menciona “representação geometricamente”, o que sugere que pode haver um erro de digitação ou omissão. Talvez as curvas sejam e . Vamos assumir que, para continuar.
Então, supondo que as curvas são e , elas se intersectam quando:
Agora, temos uma região finita limitada entre e .
Passo 4
Com os limites de x determinados, podemos definir os limites de y para a integração. Para cada valor de x entre e , y varia de até . Isso nos dá a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y: