Mostre que existe uma raiz da equação 2 x^4-4 x^3+2 x-5=0 no intervalo [2,3].

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a equação contínua 2x⁴–4x³+2x–5=0 tem pelo menos uma solução no intervalo [2,3]. Para isso vamos usar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário), que diz que se f é contínua em [a,b] e f(a)·f(b)<0 então existe c∈(a,b) com f©=0.

Passo 2

Definimos a função f(x) = 2x⁴ – 4x³ + 2x – 5. Primeiro, avaliamos em x=2:
f(2) = 2·2^4 - 4·2^3 + 2·2 - 5 = 2·16 - 4·8 + 4 - 5 = 32 - 32 + 4 - 5 = -1<0

Passo 3

Agora avaliamos em x=3:
f(3) = 2·3^4 - 4·3^3 + 2·3 - 5 = 2·81 - 4·27 + 6 - 5 = 162 - 108 + 6 - 5 = 55>0

Passo 4

Como f é um polinômio, é contínua em ℝ. Vimos que f(2)<0 e f(3)>0, logo f(2)·f(3)<0. Pelo Teorema de Bolzano existe c∈(2,3) tal que f©=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo [2,3].

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