Sejam f uma função contínua no intervalo [-r, r] e F(x)=integral0^x f(t) d t, definida para x in[-r, r]. Mostre que se f é uma função par, então F é uma função ímpar.
Dica: Lembre que f é par quando f(-t)=f(t). Siga o roteiro abaixo para resolver o exercício.
a) Derive a função composta F(-x) e mostre que (F(-x))^prime=-f(-x);
b) Conclua que (F(x)+F(-x))^prime=0 e que esta função deve ser constante igual a k;
c) Observe que F(0)=0 e que com isso segue k=0. Assim vale F(x)=F(-x).

Passo 1

Temos f contínua em [-r,r] e par, isto é, satisfaz f(-t)=f(t). Definimos a primitiva F por F(x)=integral0^x f(t),dt. Queremos mostrar que F é ímpar (isto é, F(-x)=-F(x)). Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo sabemos que F'(u)=f(u) para todo u. Aplicando a Regra da Cadeia em F(-x) obtemos
(F(-x))'=F'(-x)cdot(-1)=-f(-x)
Agora calculamos a derivada da soma:
(F(x)+F(-x))'=F'(x)+(F(-x))'=f(x)-f(-x)

Passo 3

Como f é par, f(-x)=f(x), logo
(F(x)+F(-x))'=0

Passo 4

Isto mostra que F(x)+F(-x) é constante. Seja essa constante k, então F(x)+F(-x)=k.

Passo 5

Para determinar k basta avaliar em x=0. Como F(0)=integral0^0f(t),dt=0, temos
k=F(0)+F(-0)=0+0=0

Passo 6

Logo F(x)+F(-x)=0 para todo x, ou seja F(-x)=-F(x).

Resposta

F é função ímpar, pois F(-x)=-F(x).

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