Sejam
uma função contínua no intervalo
e
, definida para
. Mostre que se
é uma função par, então
é uma função ímpar.
Dica: Lembre que
é par quando
. Siga o roteiro abaixo para resolver o exercício.
a) Derive a função composta
e mostre que
;
b) Conclua que
e que esta função deve ser constante igual a
;
c) Observe que
e que com isso segue
. Assim vale
.
Dica: Lembre que
a) Derive a função composta
b) Conclua que
c) Observe que
Passo 1
Temos f contínua em [-r,r] e par, isto é, satisfaz f(-t)=f(t). Definimos a primitiva F por
. Queremos mostrar que F é ímpar (isto é,
). Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo sabemos que
para todo u. Aplicando a Regra da Cadeia em
obtemos
Agora calculamos a derivada da soma:
Passo 3
Como f é par,
, logo
Passo 4
Isto mostra que
é constante. Seja essa constante k, então
.
Passo 5
Para determinar k basta avaliar em x=0. Como
, temos
Passo 6
Logo
para todo x, ou seja
.
Resposta
F é função ímpar, pois
.