Esboce o gráfico da função abaixo:
g(x)=1x+1.

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar o gráfico da função racional g(x)=tfrac1x+1. O conteúdo é análise de funções racionais e vamos precisar determinar domínio, assíntotas, interceptos e comportamento em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro a gente vê o domínio: a função só está definida quando o denominador x+1neq0, ou seja, xneq -1. Isso já nos dá uma assíntota vertical em x=-1, pois o valor de g(x) cresce em módulo quando x se aproxima de -1.

Passo 3

Em seguida identificamos a assíntota horizontal. Para xtopminfty temos g(x)=1/(x+1)to0. Logo, y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Agora vemos interceptos com os eixos. Para o eixo y, definimos x=0 e obtemos g(0)=1/(0+1)=1, então o ponto (0,1). Não há intercepto com o eixo x porque o numerador é constante 1 e nunca zera.

Passo 5

Para entender o sinal e a forma dos ramos, dividimos em dois intervalos: (a) x>-1: o denominador é positivo, então g(x)>0 e o ramo fica acima do eixo x. (b) x<-1: o denominador é negativo, então g(x)<0 e o ramo fica abaixo.

Passo 6

Podemos ainda marcar alguns pontos para guiar o esboço: por exemplo, g(1)=1/2 e g(-2)=1/(-1)=-1. Assim vemos que, para x> -1, o gráfico passa por (1,0.5) e tende a zero para grandes x. Para x<-1, passa por (-2,-1) e vai a -infty quando xto -1^-.

Passo 7

Com essas informações montamos o esboço: desenhamos as assíntotas x=-1 e y=0 tracejadas, e depois traçamos dois ramos de hipérbole, um no quadrante superior direito aproximando-se das assíntotas, e outro no quadrante inferior esquerdo fazendo o mesmo.

Resposta

O gráfico de g(x)=tfrac1x+1 é uma hipérbole com assíntota vertical em x=-1 e assíntota horizontal em y=0. No ramo para x>-1 a curva fica acima do eixo, passando por (0,1) e (1,0.5); no ramo para x<-1 a curva fica abaixo, passando por (-2,-1).

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