Esboce o gráfico da função abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede pra esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo é análise de funções racionais e vamos precisar determinar domínio, assíntotas, interceptos e comportamento em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro a gente vê o domínio: a função só está definida quando o denominador
, ou seja,
. Isso já nos dá uma assíntota vertical em
, pois o valor de
cresce em módulo quando
se aproxima de
.
Passo 3
Em seguida identificamos a assíntota horizontal. Para
temos
. Logo,
é assíntota horizontal.
Passo 4
Agora vemos interceptos com os eixos. Para o eixo
, definimos
e obtemos
, então o ponto
. Não há intercepto com o eixo
porque o numerador é constante
e nunca zera.
Passo 5
Para entender o sinal e a forma dos ramos, dividimos em dois intervalos: (a)
: o denominador é positivo, então
e o ramo fica acima do eixo
. (b)
: o denominador é negativo, então
e o ramo fica abaixo.
Passo 6
Podemos ainda marcar alguns pontos para guiar o esboço: por exemplo,
e
. Assim vemos que, para
, o gráfico passa por
e tende a zero para grandes
. Para
, passa por
e vai a
quando
.
Passo 7
Com essas informações montamos o esboço: desenhamos as assíntotas
e
tracejadas, e depois traçamos dois ramos de hipérbole, um no quadrante superior direito aproximando-se das assíntotas, e outro no quadrante inferior esquerdo fazendo o mesmo.
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole com assíntota vertical em
e assíntota horizontal em
. No ramo para
a curva fica acima do eixo, passando por
e
; no ramo para
a curva fica abaixo, passando por
.