Calcule a integral dupla em regiões retangulares
onde
é o retângulo
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo dado por
e
.
Informações relevantes:
- A função a integrar é
. - O domínio
é o produto dos intervalos (para ) e (para ). - A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla
.
Passo 2
Por que podemos transformar em uma integral iterada? Vou explicar bem devagar: como
é um retângulo e
é uma função contínua polinomial (logo integrável), o Teorema de Fubini nos permite escrever a integral dupla como uma integral iterada. Em termos práticos, isso significa que podemos integrar primeiro em relação a uma variável (por exemplo
) e depois em relação à outra (
), sem alterar o resultado.
A fórmula que vamos usar é
Aqui
representa uma pequena área do plano,
e
são as variáveis, e os limites indicam que
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 3
Montamos a integral iterada com integração em
primeiro:
Agora vamos calcular a integral interna
, tratando
como constante nessa integração (porque estamos integrando em relação a
).
Passo 4
Calcule a primitiva em
. Para integrar
em relação a
:
- A primitiva de
em é , pois . - A primitiva de
em é , pois é constante em relação a e .
Portanto uma antiderivada é
Avaliamo-la entre
e
:
Passo 5
Simplificamos a expressão obtida:
Agrupando termos semelhantes:
Logo a integral dupla reduz-se à integral única
Passo 6
Agora integramos em relação a
. Primeiro achamos a primitiva de
:
- A primitiva de
é . - A primitiva de
é (porque , multiplicando por dá ).
Assim,
Avalie entre
e
:
Passo 7
Calcule cada parte cuidadosamente:
- Para
: - Para
:
Subtraindo: