Calcule a integral dupla em regiões retangulares
\iint_{R}\left(3 y-x^{2}\right) d A onde R é o retângulo -1 \leq x \leq 2 e 1 \leq y \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(3 y-x^{2}\right)\,dA
onde R é o retângulo dado por -1 \leq x \leq 2 e 1 \leq y \leq 3.
Informações relevantes:
  • A função a integrar é f(x,y)=3y-x^{2}.
  • O domínio R é o produto dos intervalos [ -1,2] (para x) e [1,3] (para y).
  • A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{R}(3y-x^{2})\,dA.

Passo 2

Por que podemos transformar em uma integral iterada? Vou explicar bem devagar: como R é um retângulo e f é uma função contínua polinomial (logo integrável), o Teorema de Fubini nos permite escrever a integral dupla como uma integral iterada. Em termos práticos, isso significa que podemos integrar primeiro em relação a uma variável (por exemplo y) e depois em relação à outra ( x ), sem alterar o resultado.
A fórmula que vamos usar é
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=1}^{3} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aqui dA representa uma pequena área do plano, x e y são as variáveis, e os limites indicam que x varia de -1 a 2 e y varia de 1 a 3.

Passo 3

Montamos a integral iterada com integração em y primeiro:
\iint_{R}\left(3y-x^{2}\right)\,dA = \int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=1}^{3} \bigl(3y-x^{2}\bigr)\,dy\right)dx.
Agora vamos calcular a integral interna \int_{y=1}^{3} (3y-x^{2})\,dy, tratando x como constante nessa integração (porque estamos integrando em relação a y).

Passo 4

Calcule a primitiva em y. Para integrar (3y-x^{2}) em relação a y:
  • A primitiva de 3y em y é \dfrac{3}{2}y^{2}, pois \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{3}{2}y^{2}\right)=3y.
  • A primitiva de -x^{2} em y é -x^{2}y, pois x^{2} é constante em relação a y e \dfrac{d}{dy}(-x^{2}y)=-x^{2}.
Portanto uma antiderivada é
\int (3y-x^{2})\,dy = \frac{3}{2}y^{2}-x^{2}y.
Avaliamo-la entre y=1 e y=3:
\left[\frac{3}{2}y^{2}-x^{2}y\right]_{y=1}^{y=3} = \left(\frac{3}{2}\cdot 3^{2}-x^{2}\cdot 3\right) - \left(\frac{3}{2}\cdot 1^{2}-x^{2}\cdot 1\right).

Passo 5

Simplificamos a expressão obtida:
\frac{3}{2}\cdot 3^{2}-3x^{2} - \left(\frac{3}{2}-x^{2}\right) = \left(\frac{27}{2}-3x^{2}\right) - \left(\frac{3}{2}-x^{2}\right).
Agrupando termos semelhantes:
\left(\frac{27}{2}-\frac{3}{2}\right) + (-3x^{2}+x^{2}) = \frac{24}{2} -2x^{2} = 12 - 2x^{2}.
Logo a integral dupla reduz-se à integral única
\int_{x=-1}^{2} \bigl(12-2x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Agora integramos em relação a x. Primeiro achamos a primitiva de 12-2x^{2}:
  • A primitiva de 12 é 12x.
  • A primitiva de -2x^{2} é -\dfrac{2}{3}x^{3} (porque \int x^{2}dx = \dfrac{x^{3}}{3}, multiplicando por -2 -\dfrac{2}{3}x^{3}).
Assim,
\int (12-2x^{2})\,dx = 12x - \frac{2}{3}x^{3}.
Avalie entre x=-1 e x=2:
\left[12x - \frac{2}{3}x^{3}\right]_{x=-1}^{x=2} = \left(12\cdot 2 - \frac{2}{3}\cdot 2^{3}\right) - \left(12\cdot (-1) - \frac{2}{3}\cdot (-1)^{3}\right).

Passo 7

Calcule cada parte cuidadosamente:
  • Para x=2: 12\cdot 2 - \frac{2}{3}\cdot 8 = 24 - \frac{16}{3} = \frac{72}{3}-\frac{16}{3}=\frac{56}{3}.
  • Para x=-1: 12\cdot (-1) - \frac{2}{3}\cdot (-1) = -12 + \frac{2}{3} = -\frac{36}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{34}{3}.
Subtraindo:
\frac{56}{3} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{56}{3} + \frac{34}{3} = \frac{90}{3} = 30.

Resposta

\;30

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