Então \exp\!\big(-\int P\big)=|x^{2}-1|. Para nossos cálculos podemos usar x^{2}-1 (constante multiplicativa de sinal será absorvida pelas constantes integrais). Assim
Posso escolher a constante de integração zero para obter uma solução particular, então
y_{2}=x\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+1.
Verificação rápida (opcional): substituindo y=x^{2}+1 na homogênea confirma que é solução. Assim temos duas soluções linearmente independentes y_{1}=x e y_{2}=x^{2}+1.
Passo 4
A solução geral da homogênea é, portanto,
y_{h}(x)=C_{1}x + C_{2}(x^{2}+1),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular y_{p}\) da equação completa
\[\left(x^{2}-1\right) y''-2 x y'+2 y = x^{4}-2x^{2}+1.
O termo à direita é um polinômio de grau 4, então tentamos uma solução particular polinomial de grau 4:
y_{p}(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e.
Calculo as derivadas:
y_{p}'=4a x^{3}+3b x^{2}+2c x+d,
y_{p}''=12a x^{2}+6b x+2c.
Substituo na expressão esquerda (x^{2}-1)y''-2x y'+2y. Depois de multiplicar e somar (calculei termo a termo), obtive a expressão simplificada
\text{LHS}=6a x^{4} + 2b x^{3} -12a x^{2} -6b x +(-2c+2e).
Igualando termo a termo com o polinômio do lado direito x^{4}-2x^{2}+1 obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
Da primeira equação a=\dfrac{1}{6}\]. A segunda e quarta dão \(b=0. A terceira é compatível com a=\dfrac{1}{6}. A última relaciona c e e: -2c+2e=1, ou seja e=\dfrac{1}{2}+c.
Repare que c e d aparecem livres no sistema porque termos de grau 2 e 1 e o termo constante podem ser misturados com a solução homogênea (há ressonância: a homogênea já contém soluções polinomiais de grau 1 e 2). Podemos escolher valores convenientes para obter uma particular simples. Tomo c=0 e d=0; então e=\dfrac{1}{2}. Assim uma escolha simples é
y_{p}(x)=\frac{1}{6}x^{4}+\frac{1}{2}.
Verificação rápida: substituindo este y_{p} na LHS devolve exatamente x^{4}-2x^{2}+1, logo é uma solução particular válida.]
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: