Find the general solution of each of the following equations:
\left(x^{2}-1\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=\left(x^{2}-1\right)^{2};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
\left(x^{2}-1\right) y''-2 x y'+2 y=\left(x^{2}-1\right)^{2}.
Informações dadas/úteis que extraí do enunciado:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, não homogênea.
  • O lado esquerdo é um operador linear aplicado a y; o lado direito é o polinômio \left(x^{2}-1\right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1.
  • Para resolver, precisamos achar a solução geral da homogênea associada e uma solução particular da não homogênea, e somá-las.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
\left(x^{2}-1\right) y''-2 x y'+2 y=0.
Primeiro tento achar soluções polinomiais simples testando y=x. Computo y'=1, y''=0 e substituo:
(x^{2}-1)\cdot0 -2x\cdot1 +2x = -2x+2x=0,
logo y_{1}(x)=x é uma solução da homogênea. Ótimo — uma solução já encontrada!

Passo 3

Usar redução de ordem para obter a segunda solução linearmente independente. A forma padrão é escrever a homogênea como
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
dividindo por x^{2}-1 (assumindo x^{2}\neq1 localmente):
y''-\frac{2x}{x^{2}-1}y'+\frac{2}{x^{2}-1}y=0.
Aqui P(x)=-\dfrac{2x}{x^{2}-1}. A fórmula de redução de ordem dá uma segunda solução da forma
y_{2}=y_{1}\int \frac{\exp\!\big(-\int P(x)\,dx\big)}{y_{1}^{2}}\,dx.
Calculo -\int P(x)\,dx:
-\int P(x)\,dx = -\int \left(-\frac{2x}{x^{2}-1}\right)\,dx = \int \frac{2x}{x^{2}-1}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}-1, du=2x\,dx, obtemos
\int \frac{2x}{x^{2}-1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|x^{2}-1|.
Então \exp\!\big(-\int P\big)=|x^{2}-1|. Para nossos cálculos podemos usar x^{2}-1 (constante multiplicativa de sinal será absorvida pelas constantes integrais). Assim
y_{2}=x\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}}\,dx = x\int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Integro:
\int\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = x+\frac{1}{x}+C.
Posso escolher a constante de integração zero para obter uma solução particular, então
y_{2}=x\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+1.
Verificação rápida (opcional): substituindo y=x^{2}+1 na homogênea confirma que é solução. Assim temos duas soluções linearmente independentes y_{1}=x e y_{2}=x^{2}+1.

Passo 4

A solução geral da homogênea é, portanto,
y_{h}(x)=C_{1}x + C_{2}(x^{2}+1),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_{p}\) da equação completa \[\left(x^{2}-1\right) y''-2 x y'+2 y = x^{4}-2x^{2}+1.
O termo à direita é um polinômio de grau 4, então tentamos uma solução particular polinomial de grau 4:
y_{p}(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e.
Calculo as derivadas:
y_{p}'=4a x^{3}+3b x^{2}+2c x+d,
y_{p}''=12a x^{2}+6b x+2c.
Substituo na expressão esquerda (x^{2}-1)y''-2x y'+2y. Depois de multiplicar e somar (calculei termo a termo), obtive a expressão simplificada
\text{LHS}=6a x^{4} + 2b x^{3} -12a x^{2} -6b x +(-2c+2e).
Igualando termo a termo com o polinômio do lado direito x^{4}-2x^{2}+1 obtemos o sistema de equações para os coeficientes:
\begin{cases} 6a = 1,\\[4pt] 2b = 0,\\[4pt] -12a = -2,\\[4pt] -6b = 0,\\[4pt] -2c+2e = 1. \end{cases}
Da primeira equação a=\dfrac{1}{6}\]. A segunda e quarta dão \(b=0. A terceira é compatível com a=\dfrac{1}{6}. A última relaciona c e e: -2c+2e=1, ou seja e=\dfrac{1}{2}+c.
Repare que c e d aparecem livres no sistema porque termos de grau 2 e 1 e o termo constante podem ser misturados com a solução homogênea (há ressonância: a homogênea já contém soluções polinomiais de grau 1 e 2). Podemos escolher valores convenientes para obter uma particular simples. Tomo c=0 e d=0; então e=\dfrac{1}{2}. Assim uma escolha simples é
y_{p}(x)=\frac{1}{6}x^{4}+\frac{1}{2}.
Verificação rápida: substituindo este y_{p} na LHS devolve exatamente x^{4}-2x^{2}+1, logo é uma solução particular válida.]

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x + C_{2}(x^{2}+1) + \frac{1}{6}x^{4} + \frac{1}{2}.

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2}(x^{2}+1) + \frac{1}{6}x^{4} + \frac{1}{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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