Find the general solution of each of the following equations:
\left(x^{2}+x\right) y^{\prime \prime}+\left(2-x^{2}\right) y^{\prime}-(2+x) y=x(x+1)^{2};

Passo 1

O enunciado pede: “Achar a solução geral da equação”
\left(x^{2}+x\right) y^{\prime \prime}+\left(2-x^{2}\right) y^{\prime}-(2+x) y=x(x+1)^{2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Os coeficientes são funções polinomiais de x: a(x)=x^{2}+x=x(x+1), b(x)=2-x^{2}, c(x)=-(2+x).
  • O termo do lado direito é o polinômio \;x(x+1)^{2}=x^{3}+2x^{2}+x.
  • Pontos singulares (onde a(x)=0) são x=0 e x=-1; portanto a equação é válida em intervalos que não contenham esses pontos.
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x) da equação linear de segunda ordem não homogênea; isto inclui:
    1. uma solução particular y_{p} da equação completa;
    2. a solução geral y_{h} da equação homogênea associada;
    3. então a solução geral será y=y_{h}+y_{p}.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): porque o RHS é um polinômio (grau 3) e os coeficientes são polinomiais, é razoável tentar uma solução particular polinomial. Vou testar primeiro uma ansatz polinomial de grau até 3; caso apareçam cancelamentos que forcem um coeficiente a zero, ajustarei o grau. Depois encontrarei duas soluções independentes da homogênea — uma pode ser achada por tentativa (procurando funções racionais simples devido aos fatores x e x+1 em a(x)) e a segunda por redução de ordem.

Passo 3

Teste inicial: assumir uma solução particular do tipo
y_p = A x^3 + B x^2 + C x + D.
Calcule derivadas:
y_p' = 3A x^2 + 2B x + C,\qquad y_p'' = 6A x + 2B.
Agora compute termo a termo a aplicação do operador L[y]=a(x)y''+b(x)y'+c(x)y.
Primeiro
a(x)y_p''=(x^2+x)(6A x + 2B)=6A x^3+(2B+6A)x^2+2B x.
Segundo
b(x)y_p'=(2-x^2)(3A x^2+2B x + C)=6A x^2+4B x +2C -3A x^4 -2B x^3 - C x^2.
Terceiro
c(x)y_p=-(2+x)(A x^3+B x^2+C x + D)=-A x^4-(2A+B)x^3-(2B+C)x^2-(2C+D)x-2D.
Somando a y_p''+b y_p'+c y_p, observe que os termos em x^4 somam -3A x^4 - A x^4 = -4A x^4. O lado direito tem grau 3, então o coeficiente de x^4 deve ser zero, isto é -4A=0. Assim A=0. Portanto não precisamos do termo cúbico: podemos tomar ansatz quadrático.

Passo 4

Assuma então
y_p = B x^2 + C x + D.
Derivadas:
y_p' = 2B x + C,\qquad y_p'' = 2B.
Calcule os termos:
  1. [a(x)y_p’’=(x^2+x)\cdot 2B = 2B x^2 + 2B x.)
  2. b(x)y_p'=(2-x^2)(2B x + C)=4B x + 2C -2B x^3 - C x^2.
  3. c(x)y_p=-(2+x)(B x^2 + C x + D) = -B x^3 - (2B+C)x^2 - (2C + D)x - 2D.
Agora some os termos por potências de x:
  • Coeficiente de x^3: -2B - B = -3B.
  • Coeficiente de x^2: 2B - C - (2B + C) = -2C.
  • Coeficiente de x: 2B + 4B - (2C + D) = 6B - 2C - D.
  • Termo constante: 2C - 2D.
Portanto
L[y_p] = (-3B) x^3 + (-2C) x^2 + (6B -2C -D) x + (2C -2D).
Esse polinômio deve ser igual ao RHS x^3+2x^2+x. Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
\begin{cases} -3B = 1,\\[4pt] -2C = 2,\\[4pt] 6B -2C -D = 1,\\[4pt] 2C -2D = 0. \end{cases}
Resolva passo a passo:
  • Da primeira equação: B = -\tfrac{1}{3}\]. - Da segunda: \(C = -1.
    - Da última: 2C - 2D = 0 \Rightarrow D = C = -1.
    - Verifique a terceira: 6B -2C -D = 6(-\tfrac{1}{3}) -2(-1) -(-1) = -2 +2 +1 =1, OK.
Logo a solução particular é
y_p = -\tfrac{1}{3}x^2 - x - 1.]

Passo 5

Agora resolvemos a equação homogênea associada:
(x^2+x) y'' + (2-x^2) y' - (2+x) y = 0.
É uma equação linear de segunda ordem; precisamos de duas soluções independentes.
Uma ideia prática (muito usada em provas) é tentar funções racionais simples motivadas pelos zeros de a(x). Testemos y_1(x)=\dfrac{1}{x}. Calcule:
y_1' = -\dfrac{1}{x^2},\qquad y_1'' = \dfrac{2}{x^3}.
Substituindo:
a(x)y_1'' = x(x+1)\cdot \dfrac{2}{x^3} = \dfrac{2(x+1)}{x^2},
b(x)y_1' = (2-x^2)\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)= -\dfrac{2}{x^2}+1,
c(x)y_1 = -(2+x)\cdot \dfrac{1}{x} = -\dfrac{2x+x^2}{x^2}.
Somando com denominador comum x^2:
\frac{2(x+1)}{x^2} +\left(-\frac{2}{x^2}+1\right) -\frac{2x+x^2}{x^2} = \frac{2x+2 -2 - (2x+x^2)}{x^2} +1 = \frac{0}{x^2}+1-1=0.
(Detalhei para que fique claro: os termos racionais se cancelam exatamente.) Portanto y_1(x)=\dfrac{1}{x} é uma solução da equação homogênea.

Passo 6

Para encontrar a segunda solução independente usamos o método de redução de ordem. Vou colocar a equação homogênea na forma padrão
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0,
onde
p(x)=\frac{b(x)}{a(x)}=\frac{2-x^2}{x(x+1)},\qquad q(x)=\frac{c(x)}{a(x)}=-\frac{2+x}{x(x+1)}.
Fórmula prática (que vou usar sem provar aqui, mas que você pode decorar para provas): se y_1 é uma solução conhecida, então uma segunda solução independente é
y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_1^2}\,dx.
Aqui y_1=\dfrac{1}{x}. Vamos calcular passo a passo.

Passo 7

Calcule p(x) e sua integral. Primeiro decomponha p(x) por frações parciais. Note que
p(x)=\frac{2-x^2}{x(x+1)} = -1 + \frac{x+2}{x(x+1)}.
Agora faça frações parciais em \dfrac{x+2}{x(x+1)}:
\frac{x+2}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Isto dá x+2 = A(x+1)+Bx = (A+B)x + A. Igualando coeficientes: A=2 e A+B=1 B=-1. Logo
p(x) = -1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}.
Integre:
\int p(x)\,dx = \int\left(-1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}\right)dx = -x + 2\ln|x| - \ln|x+1| + C.
Agora calcule e^{-\int p(x)dx} (podemos desprezar a constante multiplicativa, pois ela só escala y_2):
e^{-\int p\,dx} = e^{x}\,e^{-2\ln|x|}\,e^{\ln|x+1|} = e^{x}\frac{x+1}{x^{2}}.
A fórmula pede dividir por y_1^2. Como y_1=1/x, temos y_1^2=1/x^2. Assim o integrando fica
\frac{e^{-\int p}}{y_1^2} = e^{x}\frac{x+1}{x^{2}}\cdot x^{2} = e^{x}(x+1).
Integre:
\int e^{x}(x+1)\,dx = \int x e^{x}\,dx + \int e^{x}\,dx.
Use integração por partes para \int x e^{x}\,dx: obtém-se x e^{x}-e^{x}. Somando \int e^{x}dx = e^{x} cancela o -e^{x}, e o resultado é simplesmente x e^{x} (mais constante). Portanto
\int \frac{e^{-\int p}}{y_1^2}\,dx = x e^{x}.
Então a segunda solução é
y_2 = y_1\cdot (x e^{x}) = \frac{1}{x}\cdot x e^{x} = e^{x}.
Verificamos que y_2(x)=e^{x} é independente de y_1(x)=1/x (uma é exponencial, outra racionais), portanto formam uma base de soluções da homogênea.

Passo 8

A solução geral da parte homogênea é
y_h = C_1\cdot \frac{1}{x} + C_2\cdot e^{x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Somando com a solução particular encontrada no Passo 4, a solução geral da equação completa é
y(x)=y_h+y_p = C_1\frac{1}{x} + C_2 e^{x} -\frac{1}{3}x^2 - x - 1.

Resposta

y(x)=C_{1}\dfrac{1}{x}+C_{2}e^{x}-\dfrac{1}{3}x^{2}-x-1

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