Seja f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x+1, x \leq 2 \\\ x^{2}-5 x+6, x>2\end{array}\right.. Calcule:
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \lim_{x\to -3^{+}} f(x)\) da função por partes \[f(x)=\begin{cases} 2x+1, & x\le 2,\\[4pt] x^{2}-5x+6, & x>2. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é definida por duas expressões, uma para x\le 2\] e outra para \(x>2.
  • O ponto onde queremos o limite é x=-3 e é um limite pela direita (indicado por -3^{+}), ou seja, estamos interessados em valores de x que se aproximam de -3 vindo de números maiores que -3.]

Passo 2

Entendendo o que significa limite pela direita: \lim_{x\to -3^{+}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x toma valores como -2{,}9,\,-2{,}99,\,-2{,}999,\dots — isto é, valores maiores que -3 mas arbitrariamente próximos dele. Para avaliar esse limite precisamos saber qual das expressões da função é usada para esses x próximos de -3.

Passo 3

Determinar qual ramo da função se aplica para x próximos de -3 pela direita: qualquer x com -3<x\le 2 satisfaz a condição x\le 2. Em particular, todos os pontos da direita de -3 (como -2{,}9) pertencem ao intervalo onde a função é dada por \,2x+1. Logo, ao aproximarmos x de -3 pela direita devemos usar a expressão \,2x+1. Assim
\lim_{x\to -3^{+}} f(x) = \lim_{x\to -3^{+}} (2x+1).

Passo 4

Usar a propriedade de continuidade da função linear: a função g(x)=2x+1 é uma função polinomial (na verdade afim) e essas funções são contínuas em todo lugar. Para funções contínuas o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto
\lim_{x\to -3^{+}} (2x+1) = 2\cdot(-3)+1.

Passo 5

Fazer a conta passo a passo:
2\cdot(-3) = -6,
-6 + 1 = -5.
Portanto o limite vale -5. Tá feito — você pode sempre verificar que, como no entorno de -3 a expressão não muda (a parte relevante é 2x+1), não importa se a aproximação é pela direita ou pela esquerda nesse caso: o valor da expressão no ponto dá o limite.

Resposta

-5

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