Calcule a integral tripla:
integral triplaS raizx^2+y^2 d x d y d z ; S: 0 <= x <= 2,0 <= y <= raiz4-x^2, 0 <= z <= 6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaS raizx^2+y^2,dx,dy,dz sobre o sólido S definido por 0<= x<=2, 0<= y<=raiz4-x^2 e 0<= z<=6. O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas cilíndricas e a aplicação do jacobiano para integrar funções radiais em sólidos de revolução.

Passo 2

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas definidas por x=rcostheta, y=rsintheta e z=z. Nesse sistema, a região no plano xy é o quarto de disco de raio 2, ou seja 0<= r<=2, 0<=theta<=tfracpi2; o eixo z varia de 0 a 6. Além disso, raizx^2+y^2=r e o elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=0^6rcdot r,dz,dr,dtheta = integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=0^6r^2,dz,dr,dtheta
Primeiro integramos em z, pois não há dependência de z no integrando:
integralz=0^6r^2,dz = 6r^2

Passo 4

Agora a integral reduz-se a
integraltheta=0^pi/2integralr=0^26r^2,dr,dtheta = 6integraltheta=0^pi/2dthetaintegralr=0^2r^2,dr
Calculamos cada parte:
integralr=0^2r^2,dr = 2^33 = 83,
integral0^pi/2dtheta = pi2

Passo 5

Multiplicando tudo:
6 times 83 times pi2 = 8pi

Resposta

8pi

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