Calcule a integral tripla:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre o sólido
definido por
,
e
. O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas cilíndricas e a aplicação do jacobiano para integrar funções radiais em sólidos de revolução.
Passo 2
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas definidas por
,
e
. Nesse sistema, a região no plano
é o quarto de disco de raio 2, ou seja
,
; o eixo
varia de 0 a 6. Além disso,
e o elemento de volume
.
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
Primeiro integramos em
, pois não há dependência de
no integrando:
Passo 4
Agora a integral reduz-se a
Calculamos cada parte:
Passo 5
Multiplicando tudo: