Dada a integral dupla integral duplaD(x^2+x y) d A, onde D é o triângulo com vértices em (0,0),
(1,0),(1,2).
a) Faça o esboço da região D , se a reta que liga (0,0) a (1,2) tem equação y=2 x, x varia de 0 a 1 , e para cada x, y varia de 0 até 2 x .
b) Monte a integral dupla e calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(x^2+x,yr),dA
onde D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,2).
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando limites definidos pela região triangular. Primeiro vamos esboçar D e determinar os limites de integração.

Passo 2

O triângulo D tem:
– Um lado sobre o eixo x, de (0,0) a (1,0).
– Um lado vertical em x=1, de (1,0) a (1,2).
– O terceiro lado ligando (0,0) a (1,2), cuja equação é y=2x.
Desse modo, para cada x entre 0 e 1, a coordenada y varia de 0 até 2x. Logo
0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2x

Passo 3

Com esses limites, montamos a integral iterada em ordem dy,dx:
integral duplaDl(x^2+x,yr),dA = integralx=0^1integraly=0^2xl(x^2+x,yr),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y, tratando x como constante:
integral0^2xl(x^2+x,yr),dy = integral0^2xx^2,dy ;+; integral0^2xx,y,dy = x^2,y|0^2x ;+; x,y^22|0^2x
= x^2,(2x) + x,(2x)^22 =2x^3 + 4x^32 =2x^3+2x^3 =4x^3

Passo 5

Agora a integral externa em x:
integral0^14x^3,dx =4integral0^1x^3,dx =4cdotx^44|0^1 =1

Resposta

O valor da integral dupla é 1.

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