Dada a integral dupla , onde D é o triângulo com vértices em , .
a) Faça o esboço da região D , se a reta que liga a tem equação , x varia de 0 a 1 , e para cada varia de 0 até 2 x .
b) Monte a integral dupla e calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde é o triângulo de vértices , e .
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando limites definidos pela região triangular. Primeiro vamos esboçar e determinar os limites de integração.
Passo 2
O triângulo tem:
– Um lado sobre o eixo , de a .
– Um lado vertical em , de a .
– O terceiro lado ligando a , cuja equação é .
Desse modo, para cada entre e , a coordenada varia de até . Logo
Passo 3
Com esses limites, montamos a integral iterada em ordem :
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em , tratando como constante: