Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 6 y(x+6)^{2} d A \operatorname{com} D a região limitada por x=-y^{2} e x=y-6.

Passo 1

Pelo enunciado e pelo gráfico, a região D é formada por dois “ves­tres” que partem de (0,0) sobre o eixo x, um para a esquerda até x=-4 e outro para a direita até x=2, mas em ambos a parte superior e inferior são simétricas em relação ao eixo x. Precisamos calcular
\iint_{D} 6\,y\,(x+6)^{2}\,dA.
O que vamos usar é a propriedade de simetria de uma função ímpar em y integrada sobre uma região simétrica em y.

Passo 2

A função
f(x,y)=6\,y\,(x+6)^{2}
é ímpar em y, isto é,
f(x,-y)=-6\,y\,(x+6)^{2}=-f(x,y).
Como a região D é simétrica em relação ao eixo x (para cada ponto (x,y)\in D temos também (x,-y)\in D), as contribuições acima e abaixo do eixo se cancelam:
\iint_{D}f(x,y)\,dA =\iint_{D}6\,y\,(x+6)^{2}\,dA =0.

Resposta

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