Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 9-\frac{6 y^{2}}{x^{2}} d A \operatorname{com} D a região no primeiro quadrante limitada por y=x^{3} e y=4 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}\Bigl(9 - \frac{6\,y^{2}}{x^{2}}\Bigr)\,dA
onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \displaystyle y = x^{3} e \displaystyle y = 4x.
O conteúdo aqui é aplicar a definição de integral dupla em coordenadas cartesianas e usar o Teorema de Fubini para escrever como uma integral iterada.

Passo 2

Primeiro determinamos o intervalo de x. As curvas se intersectam quando
x^{3} = 4x \quad\Longrightarrow\quad x\,(x^{2}-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=\pm2.
No primeiro quadrante temos x\in[0,2]. Para um dado x fixo, y varia de y=x^{3} até y=4x. Assim
\iint_{D}\Bigl(9 - \frac{6y^{2}}{x^{2}}\Bigr)\,dA = \int_{x=0}^{2} \Biggl[ \int_{y=x^{3}}^{4x} \Bigl(9 - \frac{6\,y^{2}}{x^{2}}\Bigr)\,dy \Biggr]dx.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em y. Um antiderivado de \displaystyle 9 - \frac{6y^{2}}{x^{2}} em relação a y é
F(y) = \int\Bigl(9 - \frac{6y^{2}}{x^{2}}\Bigr)\,dy = 9\,y \;-\;\frac{6}{x^{2}}\;\frac{y^{3}}{3} = 9y \;-\;2\,\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Logo
\int_{y=x^{3}}^{4x} \Bigl(9 - \frac{6y^{2}}{x^{2}}\Bigr)\,dy = \Bigl[\,9y \;-\;2\,\frac{y^{3}}{x^{2}}\Bigr]_{y=x^{3}}^{y=4x}.

Passo 4

Substituindo y=4x e y=x^{3}:
9(4x)-2\frac{(4x)^{3}}{x^{2}} \;-\;\Bigl(9x^{3}-2\frac{(x^{3})^{3}}{x^{2}}\Bigr) = 36x -2\frac{64x^{3}}{x^{2}} \;-\;9x^{3} +2\frac{x^{9}}{x^{2}}.
Simplificando,
36x -128x -9x^{3} +2x^{7} = -92x -9x^{3} +2x^{7}.
Portanto a integral dupla virou
\int_{0}^{2}\bigl(-92x -9x^{3} +2x^{7}\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{2}(-92x)\,dx = -92\;\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = -46\,(2^{2}) = -184,
\int_{0}^{2}(-9x^{3})\,dx = -9\;\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = -\frac{9\cdot16}{4} = -36,
\int_{0}^{2}2x^{7}\,dx = 2\;\frac{x^{8}}{8}\Big|_{0}^{2} = \frac{2^{8}}{4} = \frac{256}{4} = 64.
Somando tudo:
-184 \;-\;36 \;+\;64 = -156.

Resposta

\iint_{D}\Bigl(9 - \frac{6y^{2}}{x^{2}}\Bigr)\,dA = -156.

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