Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
a região no primeiro quadrante limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
.
O conteúdo aqui é aplicar a definição de integral dupla em coordenadas cartesianas e usar o Teorema de Fubini para escrever como uma integral iterada.
O conteúdo aqui é aplicar a definição de integral dupla em coordenadas cartesianas e usar o Teorema de Fubini para escrever como uma integral iterada.
Passo 2
Primeiro determinamos o intervalo de
. As curvas se intersectam quando
No primeiro quadrante temos
. Para um dado
fixo,
varia de
até
. Assim
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em
. Um antiderivado de
em relação a
é
Logo
Passo 4
Substituindo
e
:
Simplificando,
Portanto a integral dupla virou
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Somando tudo: