Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
\iint_{D} 12 x^{2} y-y^{2} d A \operatorname{com} D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-2 \leqslant x \leqslant 2,-x^{2} \leqslant y \leqslant x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(12x^{2}y - y^{2}\bigr)\,dA
onde D é a região dada por
-2 \le x \le 2,\quad -x^{2}\le y\le x^{2}.
O conteúdo envolvido é transformar em integral iterada, usar simetria e executar integrais simples em y e em x.

Passo 2

Escrevemos como integral iterada:
\iint_{D}(12x^{2}y - y^{2})\,dA =\int_{x=-2}^{2}\int_{y=-x^{2}}^{x^{2}}\bigl(12x^{2}y - y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Para cada x fixo, o termo 12x^{2}y é função ímpar de y e o intervalo de integração em y é simétrico. Logo
\int_{-x^{2}}^{x^{2}}12x^{2}y\,dy =12x^{2}\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{-x^{2}}^{x^{2}} =12x^{2}\frac{x^{4}-x^{4}}{2} =0.
Assim sobra apenas o termo -y^{2}.

Passo 4

A integral reduz-se a
\iint_{D}(12x^{2}y - y^{2})\,dA =-\int_{-2}^{2}\int_{-x^{2}}^{x^{2}}y^{2}\,dy\,dx.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em y:
\int_{-x^{2}}^{x^{2}}y^{2}\,dy =2\int_{0}^{x^{2}}y^{2}\,dy =2\cdot\frac{(x^{2})^{3}}{3} =\frac{2x^{6}}{3}.

Passo 6

Substituímos no integral em x:
-\int_{-2}^{2}\frac{2x^{6}}{3}\,dx =-\frac{2}{3}\int_{-2}^{2}x^{6}\,dx =-\frac{2}{3}\cdot2\int_{0}^{2}x^{6}\,dx =-\frac{4}{3}\cdot\frac{2^{7}}{7} =-\frac{512}{21}.

Resposta

-\tfrac{512}{21}

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