Calcule a integral dupla sobre o retângulo
dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla sobre um retângulo chamado $ D $. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função sobre uma região retangular no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O retângulo $ D $ é definido por:
Isso significa que $ x $ varia de 0 a 1 e $ y $ varia de 0 a 2. Vamos usar esses limites para configurar nossa integral dupla.
Passo 3
Uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada iterando integrais simples. Podemos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em $ x $:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
Aqui, tratamos $ y $ como constante. Integrando termo a termo:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a $ y $:
Integrando termo a termo:
Somando os dois resultados:
Resposta
O valor da integral dupla é $ 14 $.