Calcule a integral dupla sobre o retângulo D dado:
integral duplaD(6 y^2-2 x) d A, D: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla sobre um retângulo chamado $ D $. O enunciado pede para calcular:
D
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função sobre uma região retangular no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O retângulo $ D $ é definido por:
D
Isso significa que $ x $ varia de 0 a 1 e $ y $ varia de 0 a 2. Vamos usar esses limites para configurar nossa integral dupla.

Passo 3

Uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada iterando integrais simples. Podemos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em $ x $:
x

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
x
Aqui, tratamos $ y $ como constante. Integrando termo a termo:
integral0^1 (6 y^2 - 2 x) dx
y
Então, a integral interna resulta em:
integral0^1 6 y^2 , dx = 6 y^2 integral0^1 dx = 6 y^2 [x]0^1 = 6 y^2 (1 - 0) = 6 y^2

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a $ y $:
y
Integrando termo a termo:
integral0^2 (6 y^2 - 1) dy
integral0^2 6 y^2 , dy = 6 integral0^2 y^2 , dy = 6 [ y^33 ]0^2 = 6 ( 83 - 0 ) = 16
Somando os dois resultados:
integral0^2 (-1) , dy = - integral0^2 dy = - [y]0^2 = - (2 - 0) = -2

Resposta

O valor da integral dupla é $ 14 $.

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