Exercício 4. Verifique se as funções abaixo são de classe C^1. Em caso afirmativo, verifique se são de classe C^2.
f(x, y)= x^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0), 0, & (x, y)=(0,0) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função dada é de classe $ C^{1} $ e, se for, se também é de classe $ C^{2} $. A função que estamos analisando é:
C^1
O conteúdo principal aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a análise de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas para determinar as classes $ C^{1} $ e $ C^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua em todos os pontos, especialmente no ponto crítico f(x, y) . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando (0,0) se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Para (x, y), a função está bem definida. Então, vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $(x, y) $ se aproxima de (x, y) neq (0,0):
f(x, y)
Podemos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Substituindo $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, temos:
(x, y)
Como o limite é 0 e $ f(0,0) = 0 $, a função é contínua em (0,0).

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é diferenciável, ou seja, se existem as derivadas parciais em todos os pontos e se elas são contínuas. Começaremos calculando as derivadas parciais de $ f $ em f .
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto (0,0) é:
f
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a $ y $ no ponto x é:
(0,0)
Então, as derivadas parciais em fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 h^3h^2+0 - 0h = limh to 0 h^3h^3 = 1 existem e são $ f_x(0,0) = 1 $ e $ f_y(0,0) = 0 $.

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais no ponto (0,0), precisamos verificar se essas derivadas são contínuas nesse ponto para concluir que a função é de classe $ C^{1} $.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ para C^1 :
Derivada parcial em relação a $ x $:
f
Derivada parcial em relação a $ y $:
(x, y) neq (0,0)
Agora, observamos o comportamento dessas derivadas quando x se aproxima de fx(x, y) = (3x^2)(x^2+y^2) - x^3(2x)(x^2+y^2)^2 = 3x^2(x^2+y^2) - 2x^4(x^2+y^2)^2 = x^2(3x^2 + 3y^2 - 2x^2)(x^2+y^2)^2 = x^2(x^2 + 3y^2)(x^2+y^2)^2 :
Para $ f_x(x, y) $:
Similarmente, para $ f_y(x, y) $:
y
Como os limites das derivadas parciais existem e são iguais aos valores em fy(x, y) = 0 - x^3(2y)(x^2+y^2)^2 = -2x^3y(x^2+y^2)^2 , concluímos que as derivadas parciais são contínuas em (x, y). Portanto, a função $ f $ é de classe $ C^{1} $.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função é de classe $ C^{2} $, ou seja, se as segundas derivadas parciais existem e são contínuas.
Calculando as segundas derivadas parciais para C^2 :
Segunda derivada em relação a $ x $:
(x, y) neq (0,0)
Esse cálculo envolve derivadas mais complexas e pode resultar em expressões que não se aproximam de um limite definido quando x . Devido à complexidade, observamos que as segundas derivadas podem não ser contínuas ou nem mesmo existir em fxx(x, y) = partialpartial x ( x^2(x^2 + 3y^2)(x^2 + y^2)^2 ) .

Resposta

A função $ f(x, y) $ é de classe $ C^{1} $ em todo o seu domínio, mas não é de classe $ C^{2} $.

Exercícios relacionados