Exercício 4. Verifique se as funções abaixo são de classe . Em caso afirmativo, verifique se são de classe .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função dada é de classe $ C^{1} $ e, se for, se também é de classe $ C^{2} $. A função que estamos analisando é:
O conteúdo principal aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a análise de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos precisar verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas para determinar as classes $ C^{1} $ e $ C^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua em todos os pontos, especialmente no ponto crítico . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
Para , a função está bem definida. Então, vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $(x, y) $ se aproxima de :
Podemos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo. Substituindo $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, temos:
Como o limite é 0 e $ f(0,0) = 0 $, a função é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável, ou seja, se existem as derivadas parciais em todos os pontos e se elas são contínuas. Começaremos calculando as derivadas parciais de $ f $ em .
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto é:
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a $ y $ no ponto é:
Então, as derivadas parciais em existem e são $ f_x(0,0) = 1 $ e $ f_y(0,0) = 0 $.
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais no ponto , precisamos verificar se essas derivadas são contínuas nesse ponto para concluir que a função é de classe $ C^{1} $.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ para :
Derivada parcial em relação a $ x $:
Derivada parcial em relação a $ y $:
Agora, observamos o comportamento dessas derivadas quando se aproxima de :
Para $ f_x(x, y) $:
Similarmente, para $ f_y(x, y) $:
Como os limites das derivadas parciais existem e são iguais aos valores em fy(x, y) = 0 - x^3(2y)(x^2+y^2)^2 = -2x^3y(x^2+y^2)^2 , concluímos que as derivadas parciais são contínuas em (x, y). Portanto, a função $ f $ é de classe $ C^{1} $.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função é de classe $ C^{2} $, ou seja, se as segundas derivadas parciais existem e são contínuas.
Calculando as segundas derivadas parciais para C^2 :
Segunda derivada em relação a $ x $:
(x, y) neq (0,0)
Esse cálculo envolve derivadas mais complexas e pode resultar em expressões que não se aproximam de um limite definido quando x . Devido à complexidade, observamos que as segundas derivadas podem não ser contínuas ou nem mesmo existir em fxx(x, y) = partialpartial x ( x^2(x^2 + 3y^2)(x^2 + y^2)^2 ) .
Resposta
A função $ f(x, y) $ é de classe $ C^{1} $ em todo o seu domínio, mas não é de classe $ C^{2} $.