Exercício 3. Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o resultado do Teorema de Schwarz.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais de segunda ordem e verificar o Teorema de Schwarz. A função que vamos trabalhar é $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $, e depois verificar se as derivadas mistas são iguais, conforme o Teorema de Schwarz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a $ x $:
Em seguida, a segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas mistas. Primeiro, $ f_{xy} $:
E depois, $ f_{yx} $:
Passo 5
Vamos verificar o Teorema de Schwarz, que diz que $ f_{xy} = f_{yx} $ se as derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas. Observando os resultados:
Como $ f_{xy} $ e $ f_{yx} $ são iguais, o Teorema de Schwarz é confirmado para essa função.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem de $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ são:
e as derivadas mistas são iguais:
confirmando assim o Teorema de Schwarz.