Exercício 3. Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o resultado do Teorema de Schwarz.
f(x, y)=raizx^2+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais de segunda ordem e verificar o Teorema de Schwarz. A função que vamos trabalhar é $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $, e depois verificar se as derivadas mistas são iguais, conforme o Teorema de Schwarz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a $ x $:
x
Em seguida, a segunda derivada em relação a $ y $:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = y^2(x^2 + y^2)^3/2

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas mistas. Primeiro, $ f_{xy} $:
fxy
E depois, $ f_{yx} $:
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -x y(x^2 + y^2)^3/2

Passo 5

Vamos verificar o Teorema de Schwarz, que diz que $ f_{xy} = f_{yx} $ se as derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas. Observando os resultados:
fxy = fyx
Como $ f_{xy} $ e $ f_{yx} $ são iguais, o Teorema de Schwarz é confirmado para essa função.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem de $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ são:
f(x, y) = raizx^2 + y^2
e as derivadas mistas são iguais:
fxx = y^2(x^2 + y^2)^3/2, fyy = x^2(x^2 + y^2)^3/2,
confirmando assim o Teorema de Schwarz.

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