Calcule a integral dupla sobre o retângulo R.
\iint_{R} 4 x y^{3} d A, \quad R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid-1 \leq x \leq 1,-2 \leq y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}4xy^{3}\,dA
sobre o retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\le x\le1,\;-2\le y\le2\}.
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada e explorar a separabilidade do integrando.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
\iint_{R}4xy^{3}\,dA =\int_{y=-2}^{2}\!\!\int_{x=-1}^{1}4xy^{3}\,dx\,dy.
Como y é tratado como constante na integral interna em x, podemos fatorar y^{3}:
\int_{x=-1}^{1}4xy^{3}\,dx =4y^{3}\int_{-1}^{1}x\,dx.

Passo 3

Calculemos a integral em x:
\int_{-1}^{1}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{1} =\frac{1^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Logo
\int_{x=-1}^{1}4xy^{3}\,dx =4y^{3}\cdot 0 =0.

Passo 4

Como a integral interna é zero para todo y, a integral externa também será zero:
\int_{y=-2}^{2}0\,dy=0.

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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