Calcule as integrais iteradas
\int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral iterada
\int_{0}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}y\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas retangulares, e vamos integrar primeiro em y (a integral interna) e depois em x (a integral externa).

Passo 2

Calculemos a integral interna em y:
\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}y\,dy.
A antiderivada de y é \tfrac{y^2}{2}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}y\,dy =\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} =\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{9-x^{2}}\bigr)^2 =\frac{1}{2}(9 - x^2).

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa, obtemos
\int_{0}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}y\,dy\,dx =\int_{0}^{3}\frac{1}{2}(9 - x^2)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{3}(9 - x^2)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral em x:
\int_{0}^{3}(9 - x^2)\,dx =\left[9x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} =(27 - 9)=18.
Multiplicando por \tfrac12, o valor final é
\frac{1}{2}\times 18 = 9.

Resposta

O valor da integral iterada é 9.

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