Calcule a integral dupla sobre o retângulo R. \iint_{R} x \operatorname{sen} y-y \operatorname{sen} x d A \quad R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq y \leq \frac{\pi}{3}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(x\sin y - y\sin x\bigr)\,dA
onde
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le \tfrac{\pi}{2},\;0 \le y \le \tfrac{\pi}{3}\}.
O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini para integrais sobre retângulos e a separação de variáveis em produtos de integrais simples.
Passo 2
Aplicando Fubini e linearidade, escrevemos
\iint_{R}x\sin y\,dA \;-\;\iint_{R}y\sin x\,dA.
Como R é produto de intervalos, cada termo separa em produto de integrais simples: