Calcule a integral dupla sobre o retângulo R.
\iint_{R} x \operatorname{sen} y-y \operatorname{sen} x d A \quad R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right., 0 \leq y \leq \frac{\pi}{3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(x\sin y - y\sin x\bigr)\,dA
onde
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le \tfrac{\pi}{2},\;0 \le y \le \tfrac{\pi}{3}\}.
O conteúdo aqui é o Teorema de Fubini para integrais sobre retângulos e a separação de variáveis em produtos de integrais simples.

Passo 2

Aplicando Fubini e linearidade, escrevemos
\iint_{R}x\sin y\,dA \;-\;\iint_{R}y\sin x\,dA.
Como R é produto de intervalos, cada termo separa em produto de integrais simples:
\iint_{R}x\sin y\,dA =\Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin y\,dy\Bigr),
\iint_{R}y\sin x\,dA =\Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}y\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculamos o primeiro produto:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{2} =\frac{\pi^{2}}{8},
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin y\,dy =\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{3}} =-\cos\!\tfrac{\pi}{3}+\cos0 =-\tfrac12+1 =\tfrac12.
Logo,
\iint_{R}x\sin y\,dA =\frac{\pi^{2}}{8}\cdot\frac12 =\frac{\pi^{2}}{16}.

Passo 4

Agora o segundo produto:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx =\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =-\cos\!\tfrac{\pi}{2}+\cos0 =0+1 =1,
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}y\,dy =\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{3}\Bigr)^{2} =\frac{\pi^{2}}{18}.
Logo,
\iint_{R}y\sin x\,dA =1\cdot\frac{\pi^{2}}{18} =\frac{\pi^{2}}{18}.

Passo 5

Subtraindo os dois resultados:
\iint_{R}\bigl(x\sin y - y\sin x\bigr)\,dA =\frac{\pi^{2}}{16}-\frac{\pi^{2}}{18} =\pi^{2}\Bigl(\frac{1}{16}-\frac{1}{18}\Bigr) =\pi^{2}\cdot\frac{9-8}{144} =\frac{\pi^{2}}{144}.

Resposta

\frac{\pi^{2}}{144}.

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