Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
\iint_{R} 15 y^{4}+\frac{2}{x^{2}} d A \quad R=[1,2] \times[1,4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \Bigl(15y^{4} + \frac{2}{x^{2}}\Bigr)\,dA
onde R = [1,2]\times[1,4].
O conteúdo é integração dupla sobre retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini para separar em integrais iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{R} \Bigl(15y^{4} + \frac{2}{x^{2}}\Bigr)\,dA = \int_{x=1}^{2}\!\int_{y=1}^{4} \Bigl(15y^{4} + \frac{2}{x^{2}}\Bigr)\,dy\,dx.
Como a soma separa, isso é
\int_{1}^{2}\!\Bigl(\int_{1}^{4}15y^{4}\,dy + \int_{1}^{4}\frac{2}{x^{2}}\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calculemos primeiro
\int_{1}^{4}15y^{4}\,dy =15\cdot \frac{y^{5}}{5}\Big|_{1}^{4} =3\bigl(4^{5}-1^{5}\bigr) =3(1024-1) =3\cdot1023 =3069.
E
\int_{1}^{4}\frac{2}{x^{2}}\,dy =\frac{2}{x^{2}}\cdot (4-1) =\frac{6}{x^{2}}.
Logo a integral interna total é 3069 + 6/x^{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{1}^{2}\Bigl(3069 + \frac{6}{x^{2}}\Bigr)\,dx =\int_{1}^{2}3069\,dx + 6\int_{1}^{2}x^{-2}\,dx.
Temos
\int_{1}^{2}3069\,dx =3069\,(2-1) =3069,
e
6\int_{1}^{2}x^{-2}\,dx =6\Bigl(-x^{-1}\Bigr)\Big|_{1}^{2} =6\Bigl(-\tfrac{1}{2} +1\Bigr) =6\cdot\tfrac{1}{2} =3.

Passo 5

Somando as duas partes:
3069 + 3 = 3072.

Resposta

3072

Exercícios relacionados