Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
Passo 1
O enunciado pede
onde
.
Aqui vamos usar o Teorema de Fubini para separar a integral dupla em iteradas e a propriedade de logaritmo
Aqui vamos usar o Teorema de Fubini para separar a integral dupla em iteradas e a propriedade de logaritmo
Passo 2
Escrevemos a integral como soma de três integrais:
E aplicamos Fubini, ou seja, cada integral em
vira produto de uma integral em
por outra em
.
Passo 3
Calcular
Sabemos
Logo
Passo 4
Calcular
Temos
e já usamos
.
Assim
Assim
Passo 5
Calcular
Sabemos
e
Logo
Passo 6
Somando
:
pois
.
E ainda
E ainda
Usando
e agrupando, obtemos após simplificação