Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
\iint_{R} \frac{\ln (4 x y)}{x y} d A \quad R=[1,2] \times[3,4]

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{R}\frac{\ln(4xy)}{xy}\,dA,
onde R=[1,2]\times[3,4].
Aqui vamos usar o Teorema de Fubini para separar a integral dupla em iteradas e a propriedade de logaritmo
\ln(4xy)=\ln4+\ln x+\ln y.

Passo 2

Escrevemos a integral como soma de três integrais:
\iint_{R}\frac{\ln(4xy)}{xy}\,dA =\iint_{R}\frac{\ln4}{xy}\,dA +\iint_{R}\frac{\ln x}{xy}\,dA +\iint_{R}\frac{\ln y}{xy}\,dA.
E aplicamos Fubini, ou seja, cada integral em R vira produto de uma integral em x por outra em y.

Passo 3

Calcular
I_1=\iint_{R}\frac{\ln4}{xy}\,dA =(\ln4)\int_{x=1}^{2}\frac{dx}{x}\int_{y=3}^{4}\frac{dy}{y}.
Sabemos
\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}=\ln2, \quad \int_{3}^{4}\frac{dy}{y}=\ln\frac{4}{3}.
Logo
I_1=(\ln4)\,\ln2\,\ln\frac{4}{3}.

Passo 4

Calcular
I_2=\iint_{R}\frac{\ln x}{xy}\,dA =\int_{1}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx\;\int_{3}^{4}\frac{dy}{y}.
Temos
\int_{1}^{2}\frac{\ln x}{x}\,dx =\frac{1}{2}(\ln x)^2\Big|_{1}^{2} =\frac{1}{2}(\ln2)^2,
e já usamos \displaystyle\int_{3}^{4}\frac{dy}{y}=\ln\frac{4}{3}.
Assim
I_2 =\frac{1}{2}(\ln2)^2\,\ln\frac{4}{3}.

Passo 5

Calcular
I_3=\iint_{R}\frac{\ln y}{xy}\,dA =\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}\;\int_{3}^{4}\frac{\ln y}{y}\,dy.
Sabemos \displaystyle\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}=\ln2 e
\int_{3}^{4}\frac{\ln y}{y}\,dy =\frac{1}{2}(\ln y)^2\Big|_{3}^{4} =\frac{1}{2}\bigl((\ln4)^2-(\ln3)^2\bigr).
Logo
I_3 =\ln2\;\frac{1}{2}\bigl((\ln4)^2-(\ln3)^2\bigr).

Passo 6

Somando I_1+I_2+I_3:
I_1+I_2 =(\ln4\,\ln2+\tfrac12(\ln2)^2)\,\ln\frac{4}{3} = \frac{5}{2}(\ln2)^2\ln\frac{4}{3}
pois \ln4=2\ln2.
E ainda
I_3 =\frac12\ln2\bigl((2\ln2)^2-(\ln3)^2\bigr) =2(\ln2)^3-\tfrac12\ln2\,(\ln3)^2.
Usando \ln\frac{4}{3}=2\ln2-\ln3 e agrupando, obtemos após simplificação
\iint_{R}\frac{\ln(4xy)}{xy}\,dA =7(\ln2)^3-\frac{5}{2}(\ln2)^2\ln3-\frac{1}{2}\ln2\,(\ln3)^2.

Resposta

\iint_{R}\frac{\ln(4xy)}{xy}\,dA =7(\ln2)^3-\frac{5}{2}(\ln2)^2\ln3-\frac{1}{2}\ln2\,(\ln3)^2.

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