Calcule a integral dupla sobre o retângulo indicado:
\iint_{R} x e^{x^{2}}-12 x^{3} \operatorname{sen}(\pi y) d A \quad R=[-2,0] \times\left[\frac{1}{2}, 1\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(xe^{x^{2}}-12x^{3}\operatorname{sen}(\pi y)\bigr)\,dA,
onde R=[-2,0]\times\bigl[\tfrac12,1\bigr].
O conteúdo é “integração em retângulo” e vamos separar o integrando em duas parcelas, trocar a ordem de integração se necessário (aqui não) e usar antiderivadas simples em y e em x.

Passo 2

Escrevemos a integral e separamos termos que dependem apenas de x ou apenas de y:
\iint_{R}\bigl(xe^{x^{2}}-12x^{3}\operatorname{sen}(\pi y)\bigr)\,dA =\int_{x=-2}^{0}\int_{y=\tfrac12}^{1}xe^{x^{2}}\,dy\,dx \;-\;12\int_{x=-2}^{0}\int_{y=\tfrac12}^{1}x^{3}\operatorname{sen}(\pi y)\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos as integrais em y que aparecem como fatores constantes em x:
\int_{y=\tfrac12}^{1}dy = 1-\tfrac12 = \tfrac12, \qquad \int_{y=\tfrac12}^{1}\operatorname{sen}(\pi y)\,dy =\Bigl[-\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi y)\Bigr]_{y=\tfrac12}^{1} =-\tfrac{1}{\pi}\bigl(\cos\pi-\cos\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-\tfrac{1}{\pi}(-1-0) =\tfrac{1}{\pi}.

Passo 4

Substituindo no primeiro termo obtemos
\int_{-2}^{0}xe^{x^{2}}\Bigl(\tfrac12\Bigr)\,dx =\tfrac12\int_{-2}^{0}x e^{x^{2}}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, logo
\int_{-2}^{0}x e^{x^{2}}\,dx =\tfrac12\int_{u=4}^{0}e^{u}\,du =\tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{4}^{0} =\tfrac12\bigl(1-e^{4}\bigr).
Multiplicando pelo \tfrac12 externo dá
\tfrac12\cdot\tfrac12\bigl(1-e^{4}\bigr) =\tfrac{1-e^{4}}{4}.

Passo 5

Para o segundo termo temos
-12\int_{-2}^{0}x^{3}\Bigl(\tfrac{1}{\pi}\Bigr)\,dx =-\tfrac{12}{\pi}\int_{-2}^{0}x^{3}\,dx.
A antiderivada de x^{3} é \tfrac{x^{4}}{4}, logo
\int_{-2}^{0}x^{3}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-2}^{0} =0-\tfrac{(-2)^{4}}{4} =-\tfrac{16}{4} =-4.
Portanto o segundo termo vale
-\tfrac{12}{\pi}\,(-4) =\tfrac{48}{\pi}.

Passo 6

Somando os dois resultados temos
\tfrac{1-e^{4}}{4} \;+\;\tfrac{48}{\pi}.

Resposta

\frac{1-e^{4}}{4} \;+\;\frac{48}{\pi}.

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