As coordenadas cartesianas de um ponto sẵo dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, \theta) do ponto, onde r>0 e 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, \theta) do ponto, onde r<0 \mathrm{e} 0 \leqslant \theta<2 \pi.
(a) (-4,4)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas cartesianas (-4,4) e pede duas formas de representar esse ponto em coordenadas polares:
  1. Com r>0 e 0\le\theta\le2\pi.
  2. Com r<0 e 0\le\theta<2\pi.
    Para isso vamos usar que
r = \sqrt{x^2 + y^2},
\theta = \begin{cases} \arctan\bigl(y/x\bigr) + \pi, & x<0,\\\ \arctan\bigl(y/x\bigr), & x>0. \end{cases}

Passo 2

Calcular r e \theta com r>0.
O módulo é
r = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.
Como x=-4<0 e y=4>0, estamos no segundo quadrante. A tangente é \tan\theta = 4/(-4) = -1, cujo arco-tangente principal é -\pi/4, mas ajustando para o II quadrante temos
\theta = -\tfrac{\pi}{4} + \pi = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 3

Escolher r<0 e ajustar \theta para ficar em [0,2\pi).
Basta pegar o r positivo e colocar sinal negativo: r=-4\sqrt{2}. Isso desloca o ângulo em \pi, mas como já tínhamos \theta=3\pi/4, podemos escrever
(-4\sqrt{2},\,\theta) \quad\text{equivalente a}\quad (4\sqrt{2},\,\theta+\pi).
Queremos 0\le\theta<2\pi, então subtraímos \pi de 3\pi/4 (ou somamos 2\pi a -\pi/4), obtendo
\theta = 3\pi/4 - \pi = -\pi/4 \equiv 7\pi/4 \pmod{2\pi}.

Resposta

(i) \bigl(4\sqrt{2},\,\tfrac{3\pi}{4}\bigr)
(ii) \bigl(-4\sqrt{2},\,\tfrac{7\pi}{4}\bigr)

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