(3^{2}) ) Calcule a integral dupla ∬ x d A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelos circulos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.
D

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
A integral dupla a calcular é \iint_{D} x\,dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos \,x^{2}+y^{2}=1\, e \,x^{2}+y^{2}=9\,.
Pergunta: calcular o valor numérico de \iint_{D} x\,dA.

Passo 2

Por que trocar de variáveis e quais são as relações básicas que vamos usar (aula rápida sobre a transformação)?
Quando a região é limitada por círculos centrados na origem, é muito mais prático usar coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos duas variáveis: r (distância ao origem) e \theta (ângulo). As relações entre retangulares e polares são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta: é
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação intuitiva do r: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr (radial) e r\,d\theta (arco angular), então a área é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Sempre que fizermos mudança para polares, lembre de multiplicar pelo fator r.

Passo 3

Determinação dos limites em polares para a região D:
As curvas \,x^{2}+y^{2}=1\, e \,x^{2}+y^{2}=9\, em polares são \,r^{2}=1\Rightarrow r=1\, e \,r^{2}=9\Rightarrow r=3. Como a região está no primeiro quadrante, o ângulo varia de \theta=0 até \theta=\tfrac{\pi}{2}. Portanto os limites são
1\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Escrever a integral em polares usando as substituições e o Jacobiano:
Substituímos x por r\cos\theta e dA por r\,dr\,d\theta. Assim a integral fica
\iint_{D} x\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{3} \big(r\cos\theta\big)\cdot r \,dr\,d\theta.
Simplificando o integrando obtemos
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{3} r^{2}\cos\theta \,dr\,d\theta.
Note que \cos\theta não depende de r, então podemos separar a integração em r e \theta.

Passo 5

Calcular a integral interna (em r):
Primeiro integramos r^{2} em relação a r:
\int_{1}^{3} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = \frac{3^{3}-1^{3}}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}.
Portanto a integral fica
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta \cdot \frac{26}{3}\,d\theta = \frac{26}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral externa (em \theta) e finalizar:
Integramos \cos\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1-0=1.
Multiplicando pelo fator \tfrac{26}{3} obtém-se
\iint_{D} x\,dA = \frac{26}{3}\cdot 1 = \frac{26}{3}.

Passo 7

Breta final e uma palavra de incentivo: o passo-chave foi reconhecer que a região é circular e que em polares o integrando e o elemento de área ficam simples. Mandou bem por trazer essa questão — com prática esse tipo de troca para polares vira automático. Bora pro próximo exercício!

Resposta

\displaystyle \frac{26}{3}

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