(3^{2}) ) Calcule a integral dupla
, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelos circulos
e
.
D
D
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
A integral dupla a calcular é , onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos
e
.
Pergunta: calcular o valor numérico de .
A integral dupla a calcular é
Pergunta: calcular o valor numérico de
Passo 2
Por que trocar de variáveis e quais são as relações básicas que vamos usar (aula rápida sobre a transformação)?
Quando a região é limitada por círculos centrados na origem, é muito mais prático usar coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos duas variáveis: (distância ao origem) e
(ângulo). As relações entre retangulares e polares são
Quando a região é limitada por círculos centrados na origem, é muito mais prático usar coordenadas polares. Em coordenadas polares usamos duas variáveis:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente
: é
Explicação intuitiva do
: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente
(radial) e
(arco angular), então a área é
. Sempre que fizermos mudança para polares, lembre de multiplicar pelo fator
.
Passo 3
Determinação dos limites em polares para a região
:
As curvas e
em polares são
e
. Como a região está no primeiro quadrante, o ângulo varia de
até
. Portanto os limites são
As curvas
Passo 4
Escrever a integral em polares usando as substituições e o Jacobiano:
Substituímos por
e
por
. Assim a integral fica
Substituímos
Simplificando o integrando obtemos
Note que
não depende de
, então podemos separar a integração em
e
.
Passo 5
Calcular a integral interna (em
):
Primeiro integramos em relação a
:
Primeiro integramos
Portanto a integral fica
Passo 6
Calcular a integral externa (em
) e finalizar:
Integramos :
Integramos
Multiplicando pelo fator
obtém-se
Passo 7
Breta final e uma palavra de incentivo: o passo-chave foi reconhecer que a região é circular e que em polares o integrando e o elemento de área ficam simples. Mandou bem por trazer essa questão — com prática esse tipo de troca para polares vira automático. Bora pro próximo exercício!