4
) Calcule a integral dupla
, onde D é o disco completo com centro na origem e raio 2.
D
D
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco completo centrado na origem com raio
. Informações dadas: o domínio é
e a função a integrar é
. A única pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?
Passo 2
Primeira observação algébrica útil: fatorar a expressão ajuda a ver propriedades de simetria. Note que
Aqui
é a função que muda de sinal quando trocamos
por
, enquanto
é sempre não negativa e mesmo em
. Então o produto é uma função ímpar em relação a
(ou seja, muda de sinal quando
).
Passo 3
Expliquei o que significa “função ímpar em
”: para
temos
O disco
é simétrico em relação ao eixo
(para cada ponto
também
). Sempre que integramos uma função ímpar em
sobre um domínio simétrico em
, a contribuição de
e
se cancelam ponto a ponto, sugerindo que a integral total será zero. Vou tornar isso formal no próximo passo.
Passo 4
Escrevendo a integral com integração em
primeiro, para cada
fixo o intervalo em
é simétrico:
Para cada
fixo, a função
é ímpar e o intervalo de integração em
é
, simétrico em torno de
. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero, portanto para todo
Integrando em
isso dá
Passo 5
(Seguindo um caminho alternativo — útil para aprender polar — confirmamos o resultado por coordenadas polares.) Em coordenadas polares usamos
,
e o elemento de área é
. Como
, a integranda fica
Multiplicando pelo Jacobiano
obtemos o integrando em
:
Os limites para o disco de raio
são
e
, então
Passo 6
A integral separa em produto (porque
e
aparecem em fatores separados):
Calcule a parte angular:
Como essa parte é zero, o produto inteiro é zero, confirmando o resultado obtido pelo argumento de simetria.
Passo 7
Resumo pedagógico rápido: dois caminhos naturais — (i) ver que a função é ímpar em
e o domínio é simétrico, o que leva imediatamente ao cancelamento e integral zero; (ii) usar coordenadas polares, converter a integral e ver que a integral angular de
em
é zero. Os dois dão a mesma resposta.