4 { }^{\text {a }} ) Calcule a integral dupla ∬(x^{3}+x y^{2}) d A, onde D é o disco completo com centro na origem e raio 2.
D

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} (x^{3}+x y^{2})\,dA,
onde D é o disco completo centrado na origem com raio 2. Informações dadas: o domínio é
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\},
e a função a integrar é f(x,y)=x^{3}+x y^{2}. A única pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla?

Passo 2

Primeira observação algébrica útil: fatorar a expressão ajuda a ver propriedades de simetria. Note que
x^{3}+x y^{2}=x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Aqui x é a função que muda de sinal quando trocamos x por -x, enquanto x^{2}+y^{2} é sempre não negativa e mesmo em x. Então o produto é uma função ímpar em relação a x (ou seja, muda de sinal quando x\to -x).

Passo 3

Expliquei o que significa “função ímpar em x”: para f(x,y)=x(x^{2}+y^{2}) temos
f(-x,y)=-x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=-f(x,y).
O disco D é simétrico em relação ao eixo y (para cada ponto (x,y)\in D também (-x,y)\in D). Sempre que integramos uma função ímpar em x sobre um domínio simétrico em x, a contribuição de (x,y) e (-x,y) se cancelam ponto a ponto, sugerindo que a integral total será zero. Vou tornar isso formal no próximo passo.

Passo 4

Escrevendo a integral com integração em x primeiro, para cada y fixo o intervalo em x é simétrico:
\iint_{D} x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \int_{y=-2}^{2}\left(\int_{x=-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\right)dy.
Para cada y fixo, a função x\mapsto x(x^{2}+y^{2}) é ímpar e o intervalo de integração em x é [-\sqrt{4-y^{2}},\sqrt{4-y^{2}}], simétrico em torno de 0. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero, portanto para todo y
\int_{x=-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx=0.
Integrando em y isso dá
\iint_{D} (x^{3}+x y^{2})\,dA=0.

Passo 5

(Seguindo um caminho alternativo — útil para aprender polar — confirmamos o resultado por coordenadas polares.) Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, a integranda fica
x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=r\cos\theta\cdot r^{2}=r^{3}\cos\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em dr\,d\theta:
r^{3}\cos\theta\cdot r = r^{4}\cos\theta.
Os limites para o disco de raio 2 são 0\le r\le 2 e 0\le \theta\le 2\pi, então
\iint_{D} (x^{3}+x y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{4}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

A integral separa em produto (porque r e \theta aparecem em fatores separados):
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta \cdot \int_{0}^{2} r^{4}\,dr.
Calcule a parte angular:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \Bigl[\sin\theta\Bigr]_{0}^{2\pi}=\sin(2\pi)-\sin(0)=0.
Como essa parte é zero, o produto inteiro é zero, confirmando o resultado obtido pelo argumento de simetria.

Passo 7

Resumo pedagógico rápido: dois caminhos naturais — (i) ver que a função é ímpar em x e o domínio é simétrico, o que leva imediatamente ao cancelamento e integral zero; (ii) usar coordenadas polares, converter a integral e ver que a integral angular de \cos\theta em [0,2\pi] é zero. Os dois dão a mesma resposta.

Resposta

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