(1*) ) Calcule a integral dupla ∬(x^{2}+y^{2}) d A, onde o disco D é o disco completo com centro na origem e raio 4.
D

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função x^{2}+y^{2} sobre o disco D, onde D é o disco completo de centro na origem e raio 4.
Informações dadas:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4^{2}\}.
O que se pede: calcular
\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA.

Passo 2

Motivação e mudança de coordenadas (aula rápida): como o domínio D é um disco centrado na origem e a função mistura x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo polar. Observe que
x^{2}+y^{2}=r^{2},
porque r^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Além disso, o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Explico por que: o Jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) é a matriz
\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix},
e seu determinante (módulo) é
\left|\det\right|=\left|\cos\theta\cdot r\cos\theta - (-r\sin\theta)\cdot\sin\theta\right|=|r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)|=r.
Portanto dA = r\,dr\,d\theta. Aqui r aparece por conta da “dilatação” do elemento de área quando mudamos de coordenadas.]

Passo 3

Determinação dos limites de integração e escrita da integral em polares: como D é o disco de raio 4, temos 0\le r\le 4 e \theta percorre todo o círculo, 0\le\theta\le 2\pi. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Cálculo da integral interna (em r): precisamos calcular
\int_{0}^{4} r^{3}\,dr.
A primitiva de r^{3} em relação a r é \dfrac{r^{4}}{4}, pois derivando \dfrac{r^{4}}{4} obtemos r^{3}. Avaliando entre 0 e 4,
\int_{0}^{4} r^{3}\,dr=\left.\dfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{4}=\dfrac{4^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4}=\dfrac{256}{4}=64.

Passo 5

Cálculo da integral externa (em \theta): substituindo o resultado da integral interna, temos
\int_{0}^{2\pi} \Bigg(\int_{0}^{4} r^{3}\,dr\Bigg) d\theta=\int_{0}^{2\pi} 64\,d\theta=64\int_{0}^{2\pi} d\theta.

Passo 6

Avaliação final da integral em \theta: a integral de 1 de 0 a 2\pi é 2\pi, portanto a expressão do Passo 5 vale 64\cdot 2\pi. (O resultado numérico final está na seção de resposta abaixo.)

Resposta

128\pi

Exercícios relacionados