(1*) ) Calcule a integral dupla ∬(x^{2}+y^{2}) d A, onde o disco D é o disco completo com centro na origem e raio 4.
D
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função x^{2}+y^{2} sobre o disco D, onde D é o disco completo de centro na origem e raio 4.
Informações dadas:
Motivação e mudança de coordenadas (aula rápida): como o domínio D é um disco centrado na origem e a função mistura x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo polar. Observe que
x^{2}+y^{2}=r^{2},
porque r^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Além disso, o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Explico por que: o Jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) é a matriz
Portanto dA = r\,dr\,d\theta. Aqui r aparece por conta da “dilatação” do elemento de área quando mudamos de coordenadas.]
Passo 3
Determinação dos limites de integração e escrita da integral em polares: como D é o disco de raio 4, temos 0\le r\le 4 e \theta percorre todo o círculo, 0\le\theta\le 2\pi. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
Avaliação final da integral em \theta: a integral de 1 de 0 a 2\pi é 2\pi, portanto a expressão do Passo 5 vale 64\cdot 2\pi. (O resultado numérico final está na seção de resposta abaixo.)