(2^{2}) ) Calcule a integral dupla ∬(\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}) d A, onde D é a metade do disco com centro na origem e raio 3 .
D

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA
onde D é a metade do disco de centro na origem e raio 3.\n
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\quad D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 3^{2}\\ \text{e é uma metade do disco}\}.é
Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região D.\n
Observação importante (decisão necessária, mas não é resolver ainda): vou assumir que a “metade do disco” é a semicircunferência superior y\ge 0. Se você quisesse a metade inferior o resultado teria o sinal oposto.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Vou explicar a ideia: a região D é um disco (ou metade dele) centrado na origem, então é muito natural usar coordenadas polares (r,\theta), porque círculos e arcos ficam simples. As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Em coordenadas polares a área elementar dA se transforma em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando o porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um retângulo pequeno em coordenadas polares tem lados aproximados dr e r\,d\theta (o arco de raio r e ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta), então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Isso é essencial para transformar integrais duplas.

Passo 3

Transformar o integrando para polares. Começamos substituindo x e y:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}=\sqrt{r^{2}}=r\quad(\text{tomamos }r\ge 0).
Logo o integrando vira
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\sin\theta}{r}=\sin\theta.
Portanto a função que vamos integrar em polares é simplesmente \sin\theta, e o elemento de área é r\,dr\,d\theta. O integrando total (função vezes dA) é
\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Determinar os limites de integração para a metade do disco. Assumindo que D é a metade superior ( y\ge 0), os limites são:
r\in[0,3],\qquad \theta\in[0,\pi],
porque ao variar \theta de 0 a \pi percorremos a semicircunferência superior e r vai do centro até o raio 3.

Passo 5

Montar a integral em coordenadas polares com os limites:
\iint_{D}\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{3} r\sin\theta\,dr\,d\theta.
Repare que a integral é produto de uma parte que depende só de r e outra só de \theta, então podemos separar as integrais.

Passo 6

Calcular a integral interna em r:
\int_{r=0}^{3} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{3}=\frac{3^{2}}{2}=\frac{9}{2}.
Calcular a integral em \theta:
\int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.

Passo 7

Multiplicar os resultados (separação de variáveis):
\iint_{D}\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA = \left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r\,dr\right) = 2\cdot\frac{9}{2}=9.

Passo 8

Comentário final — sinal e interpretação rápida: como o integrando em polares virou \sin\theta, regiões onde \sin\theta>0 (metade superior) dão resultado positivo. Se a metade do disco fosse a inferior ( y\le 0), os limites seriam \theta\in[\pi,2\pi] e a integral daria -9.

Resposta

9

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