(2^{2}) ) Calcule a integral dupla ∬(\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}) d A, onde D é a metade do disco com centro na origem e raio 3 .
D
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA
onde D é a metade do disco de centro na origem e raio 3.\n
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\quad D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 3^{2}\\ \text{e é uma metade do disco}\}.
Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região D.\n
Observação importante (decisão necessária, mas não é resolver ainda): vou assumir que a “metade do disco” é a semicircunferência superior y\ge 0. Se você quisesse a metade inferior o resultado teria o sinal oposto.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Vou explicar a ideia: a região D é um disco (ou metade dele) centrado na origem, então é muito natural usar coordenadas polares (r,\theta), porque círculos e arcos ficam simples. As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Em coordenadas polares a área elementar dA se transforma em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando o porquê de dA=r\,dr\,d\theta: um retângulo pequeno em coordenadas polares tem lados aproximados dr e r\,d\theta (o arco de raio r e ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta), então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Isso é essencial para transformar integrais duplas.
Passo 3
Transformar o integrando para polares. Começamos substituindo x e y:
Portanto a função que vamos integrar em polares é simplesmente \sin\theta, e o elemento de área é r\,dr\,d\theta. O integrando total (função vezes dA) é
Comentário final — sinal e interpretação rápida: como o integrando em polares virou \sin\theta, regiões onde \sin\theta>0 (metade superior) dão resultado positivo. Se a metade do disco fosse a inferior (y\le 0), os limites seriam \theta\in[\pi,2\pi] e a integral daria -9.