Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo
f(x, y)=4-x-y, A=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x,y)=4-x-y definida no retângulo A=[0,1]times[0,2] e queremos calcular a integral dupla integral duplaA f(x,y),dx,dy. O conteúdo principal é integração dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fubini: Como A é um retângulo, podemos escrever
[\iint_A f(x,y),dx,dy = \int_{x=0}{1}!\int_{y=0}{2}(4-x-y),dy,dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y: Vamos integrar 4-x-y em relação a y, tratando x como constante. A antiderivada é
4y - x,y - y^22\navaliada de y=0 a y=2:
[\bigl(4\cdot2 - x\cdot2 - \tfrac{2^2}{2}\bigr) - (0) = 8 - 2x - 2 = 6 - 2x.

Passo 4

Integrar a parte restante em x: Agora fazemos
integral0^1(6 - 2x),dx
A antiderivada de 6-2x é 6x - x^2. Avaliando de 0 a 1 dá
[\bigl(6\cdot1 - 1^2\bigr) - 0 = 6 - 1 = 5.

Passo 5

Portanto, o valor da integral dupla é 5.

Resposta

5

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