Calcule
, sendo
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
definida no retângulo
e queremos calcular a integral dupla
. O conteúdo principal é integração dupla e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Fubini: Como
é um retângulo, podemos escrever
[\iint_A f(x,y),dx,dy = \int_{x=0}{1}!\int_{y=0}{2}(4-x-y),dy,dx.
Passo 3
Calcular a integral interna em
: Vamos integrar
em relação a
, tratando
como constante. A antiderivada é
[\bigl(4\cdot2 - x\cdot2 - \tfrac{2^2}{2}\bigr) - (0) = 8 - 2x - 2 = 6 - 2x.
Passo 4
Integrar a parte restante em
: Agora fazemos
A antiderivada de
[\bigl(6\cdot1 - 1^2\bigr) - 0 = 6 - 1 = 5.
Passo 5
Portanto, o valor da integral dupla é 5.
Resposta
5