Dado que y1(t)=cos t é uma solução para y^prime prime-y^prime+y=sen t, use o princípio da superposição para achar soluções para:
& (b) y^prime prime-y^prime+y=sen t-3 e^2 t

Passo 1

O problema é resolver a EDO não homogênea y''-y'+y=sin t-3e^2t. Sabemos que y1(t)=cos t satisfaz y''-y'+y=sin t. Como o operador L[y]=y''-y'+y é linear, podemos usar o princípio da superposição: basta achar uma solução particular y2 de L[y2]=-3e^2t e então y=y1+y2 será solução para a soma dos termos forçantes.

Passo 2

Para encontrar y2(t), usamos o método dos coeficientes indeterminados e experimentamos a forma y2(t)=A e^2t. Calculamos as derivadas:
y2(t)=A e^2t, y2'(t)=2A e^2t, y2''(t)=4A e^2t
Substituindo na equação y''-y'+y=-3e^2t vem:
L[y2]=y2''-y2'+y2=(4A-2A+A)e^2t=3A e^2t
Para ter 3A e^2t=-3e^2t precisamos de 3A=-3, logo A=-1. Assim
y2(t)=-e^2t

Passo 3

Pelo princípio da superposição, somamos as duas partes particulares:
yp(t)=y1(t)+y2(t)=cos t- e^2t
Essa função satisfaz y''-y'+y=sin t-3e^2t.

Resposta

A solução particular é y(t)=cos t - e^2t.

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