Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo
f(x, y)=x sen y, A=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= cos y, 0 <= y <= pi3

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral dupla integral duplaA f(x,y),dx,dy de f(x,y)=xsin y sobre o conjunto A=(x,y)inR^2mid 0<= x<=cos y,;0<= y<=tfracpi3. O conteúdo principal é integração dupla em coordenadas cartesianas usando integração iterada e mudança de variável.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada:
integraly=0^pi/3integralx=0^cos y xsin y,dx,dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x: tirando sin y como constante e integrando x:
integral0^cos y xsin y,dx = sin yintegral0^cos y x,dx = sin y[x^22]0^cos y = 12sin ycos^2 y

Passo 4

Agora resolvemos a integral em y, que ficou
integral0^pi/3 12sin ycos^2 y,dy
Para isso usamos a substituição u=cos y, du=-sin y,dy. Quando y=0, u=1; quando y=tfracpi3, u=tfrac12. Assim:
integral0^pi/3sin ycos^2 y,dy = -integral1^1/2u^2,du = integral1/2^1u^2,du = [u^33]1/2^1 = 724

Passo 5

Não esquecer do fator tfrac12 que estava na frente. Multiplicando, obtemos:
12cdot724 = 748

Resposta

748

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