Fazendo uma mudança para coordenadas polares, calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral dada é:
Aqui, estamos lidando com integração em duas variáveis, e , e a função dentro da integral envolve , que sugere que coordenadas polares vão facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar saber como transformar coordenadas cartesianas em polares e ajustar os limites de integração conforme essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites para vão de a , e para cada , vai de a . Isso descreve um quarto de círculo no terceiro quadrante.
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área se transforma em .
Passo 3
Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Na região descrita:
vai de a : isso corresponde a negativo, ou seja, entre e .
vai de a : isso significa que varia de a , já que estamos dentro do círculo de raio 1.
Portanto, os novos limites são:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Substituindo:
E lembrando do elemento de área:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Então:
4 (1 - pi4) = 4 - pi
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral externa em relação a theta: