Fazendo uma mudança para coordenadas polares, calcule as integrais:
integral-1^0 integral-raiz1-x^2^0 4 raizx^2+y^21+x^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. A integral dada é:
integral-1^0 integral-raiz1-x^2^0 4 raizx^2+y^21+x^2+y^2 , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integração em duas variáveis, x e y, e a função dentro da integral envolve raizx^2 + y^2, que sugere que coordenadas polares vão facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar saber como transformar coordenadas cartesianas (x, y) em polares (r, theta) e ajustar os limites de integração conforme essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites para x vão de -1 a 0, e para cada x, y vai de -raiz1 - x^2 a 0. Isso descreve um quarto de círculo no terceiro quadrante.
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área dx , dy se transforma em r , dr , dtheta.

Passo 3

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Na região descrita:
  • x vai de -1 a 0: isso corresponde a cos theta negativo, ou seja, theta entre pi/2 e 3pi/2.
  • y vai de -raiz1 - x^2 a 0: isso significa que r varia de 0 a 1, já que estamos dentro do círculo de raio 1.
Portanto, os novos limites são:
0 <= r <= 1 pi <= theta <= 3pi2

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares. Substituindo:
raizx^2 + y^2 = r 1 + x^2 + y^2 = 1 + r^2
E lembrando do elemento de área:
dx , dy = r , dr , dtheta
Então, a integral fica:
integralpi^3pi2 integral0^1 4r1 + r^2 cdot r , dr , dtheta = integralpi^3pi2 integral0^1 4r^21 + r^2 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^1 4r^21 + r^2 , dr
Podemos simplificar a fração:
4r^21 + r^2 = 4 (1 - 11 + r^2)
Então, a integral fica:
4 integral0^1 (1 - 11 + r^2) , dr = 4 [ integral0^1 1 , dr - integral0^1 11 + r^2 , dr ]
Calculando cada parte:
integral0^1 1 , dr = r |0^1 = 1 integral0^1 11 + r^2 , dr = tan^-1(r) |0^1 = pi4
Então:
4 (1 - pi4) = 4 - pi

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral externa em relação a theta:
integralpi^3pi2 (4 - pi) , dtheta = (4 - pi) cdot (3pi2 - pi) = (4 - pi) cdot pi2
Simplificando:
(4 - pi) cdot pi2 = 2pi - pi^22

Resposta

O valor final da integral é:
2pi - pi^22

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