Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo
f(x, y)=x y^2, A=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,-x^2 <= y <= x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaA f(x,y),dx,dy com f(x,y)=x y^2 e a região A definida por 0<= x<=1 e -x^2<= y<= x^2. O conteúdo é integral dupla em coordenadas cartesianas, onde vamos aplicar o Teorema de Fubini e usar a simetria da função em y.

Passo 2

Escrevemos a integral usando o Teorema de Fubini:
integral duplaA x y^2 ,dx,dy = integral0^1integral-x^2^x^2 x y^2 ,dy,dx
Na integral interna, como y^2 é função par, podemos dobrar a parte positiva:
integral-x^2^x^2 y^2 ,dy = 2integral0^x^2 y^2 ,dy = 2l[tfracy^33r]0^x^2 = 2x^63

Passo 3

Substituindo isso na integral externa, temos:
integral0^1 xcdot2x^63,dx = 23integral0^1 x^7 ,dx = 23cdot18 = 112

Resposta

tfrac112

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