y^prime prime(x)-y^prime(x)-2 y(x)=cos x-sen 2 x; y(0)=-7 / 20, y^prime(0)=1 / 5

Passo 1

Temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y''(x)-y'(x)-2y(x)=cos x-sin2x e condições iniciais y(0)=-7/20, y'(0)=1/5. O conteúdo aqui é solução de EDOs lineares homogêneas e particulares por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0
que dá r=2 e r=-1. Logo
yh(x)=C1e^2x+C2e^-x

Passo 3

Para achar uma solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como os termos forçantes são cos x e sin2x, fazemos o ansatz
yp(x)=Acos x + Bsin x + Ccos2x + Dsin2x
Calculamos as derivadas:
yp'(x)=-Asin x + Bcos x - 2Csin2x + 2Dcos2x,
yp''(x)=-Acos x - Bsin x - 4Ccos2x - 4Dsin2x

Passo 4

Substituindo na EDO y''-y'-2y=cos x-sin2x e agrupando termos obtemos o sistema:
-3A - B = 1, A - 3B = 0, -6C - 2D = 0, 2C - 6D = -1
Daí resultam
A = -tfrac310, B = -tfrac110, C = -tfrac120, D = tfrac320

Passo 5

A solução geral é
y(x)=C1e^2x+C2e^-x+yp(x)
Usando yp(0)=-7/20 e yp'(0)=1/5, as condições iniciais dão
C1 + C2 = 0, 2C1 - C2 = 0
e portanto C1=0, C2=0. Assim a parte homogênea some e a solução é só yp(x).

Resposta

y(x)=-tfrac310cos x - tfrac110sin x - tfrac120cos2x + tfrac320sin2x

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