Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo
f(x, y)=x^2+y^2, A=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral dupla de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ sobre a região $ A $, que é definida por todos os pontos f(x, y) = x^2 + y^2 no plano que satisfazem $ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são bem mais fáceis para regiões circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é descrito por (r, theta), onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo com o eixo positivo x. Isso vai facilitar nossa vida porque a região $ A $ é um anel circular.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função $ f(x, y) $ em coordenadas polares. Sabemos que $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, então:
f(x, y)
Pois $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.

Passo 4

A região $ A $ em coordenadas polares fica definida por $ 1 \leq r^{2} \leq 4 $. Tirando a raiz quadrada, temos $ 1 \leq r \leq 2 $. E como estamos cobrindo todo o círculo, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 5

O diferencial de área em coordenadas polares é dado por $ dA = r , dr , d\theta $. Então, nossa integral dupla vai ser em termos de $ r $ e $ \theta $.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaA f(x, y) , dx , dy = integral0^2pi integral1^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral1^2 r^3 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em relação a $ r $:
r

Passo 8

Agora, integramos o resultado acima em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{15}{2} \pi $.

Exercícios relacionados