Calcule
, sendo
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral dupla de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ sobre a região $ A $, que é definida por todos os pontos
no plano que satisfazem $ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são bem mais fáceis para regiões circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é descrito por
, onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo com o eixo positivo x. Isso vai facilitar nossa vida porque a região $ A $ é um anel circular.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função $ f(x, y) $ em coordenadas polares. Sabemos que $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, então:
Pois $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.
Passo 4
A região $ A $ em coordenadas polares fica definida por $ 1 \leq r^{2} \leq 4 $. Tirando a raiz quadrada, temos $ 1 \leq r \leq 2 $. E como estamos cobrindo todo o círculo, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 5
O diferencial de área em coordenadas polares é dado por $ dA = r , dr , d\theta $. Então, nossa integral dupla vai ser em termos de $ r $ e $ \theta $.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a $ r $:
Passo 8
Agora, integramos o resultado acima em relação a $ \theta $:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{15}{2} \pi $.