Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo
f(x, y)=x, A=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2-x <= 0
Sugestão: x^2+y^2-x <= 0 Rightarrow(x-12)^2+y^2 <= 14
Sugestão: A mudança não envolve coordenadas polares

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de $ f(x, y) = x $ sobre a região $ A $, que é definida pela inequação $ x^2 + y^2 - x \leq 0 $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região $ A $ de forma mais simples e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a inequação que define a região $ A $:
A
Para facilitar, completamos o quadrado na expressão que envolve $ x $:
x^2 + y^2 - x <= 0
Então, a região $ A $ é um círculo com centro em $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e raio $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, para calcular a integral dupla sobre essa região circular, podemos mudar as coordenadas para facilitar a integração. Vamos fazer uma mudança de variável que centraliza o círculo na origem. Definimos:
u = x - 12 v = y
Com essa mudança, a região $ A $ se torna:
A
Essa é a equação de um círculo de raio $ \frac{1}{2} $ centrado na origem do novo sistema de coordenadas $ (u, v) $.

Passo 4

Precisamos também expressar a função $ f(x, y) = x $ em termos de $ u $ e $ v $. Como $ u = x - \frac{1}{2} $, temos:
f(x, y) = x
Portanto, a função fica:
u

Passo 5

Agora, determinamos o elemento de área $ dx , dy $ em termos de $ du , dv $. Como a transformação é linear e não há escala envolvida, o determinante Jacobiano é 1:
dx , dy
Então, a integral original se transforma em:
du , dv
onde $ D $ é o círculo $ u^2 + v^2 \leq \frac{1}{4} $.

Passo 6

Vamos agora calcular a integral:
integral duplaD (u + 12) du , dv = integral duplaD u , du , dv + integral duplaD 12 , du , dv
Observamos que a primeira integral, $ \iint_{D} u , du , dv $, é igual a zero porque a função $ u $ é ímpar em relação a $ u $ e a região $ D $ é simétrica em relação ao eixo $ u $. Portanto:
integral duplaD u , du , dv

Passo 7

A segunda integral é:
integral duplaD 12 , du , dv = 12 integral duplaD du , dv
Essa integral representa a área do círculo $ D $ multiplicada por $ \frac{1}{2} $. Sabemos que a área de um círculo é $ \pi r^2 $, onde $ r = \frac{1}{2} $:
D
Portanto:
12

Resposta

A integral dupla é igual a $ \frac{\pi}{8} $.

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